Question

14．一次函數(shù)y=kx-4k交x軸正半軸于點A，交y軸正半軸于點C，當(dāng)k變化時，作點C關(guān)于x軸對稱的點M，CB交AM于B，交x軸于D，且2∠OCD=∠CAO，求AB+AC的值．

Answer 1

分析 作∠OAC的平分線AE，作EF⊥AC于F，根據(jù)勾股定理求得AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得AF=OA=4，EF=EO，從而求得CF=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$-4，在RT△CEF中，根據(jù)勾股定理求得CE=$\frac{4}{k}$[$\sqrt{1+{k}^{2}}$-（$\sqrt{1+{k}^{2}}$）²]，然后根據(jù)△CMB∽△ACE，對應(yīng)邊成比例求得BM=-8（1-$\sqrt{1+{k}^{2}}$），則AB+AC=2AC-BM=8．

解答 解：作∠OAC的平分線AE，作EF⊥AC于F，
由一次函數(shù)y=kx-4k可知，A（4，0），C（0，-4k），
∴AC=$\sqrt{{4}^{2}+（4k）^{2}}$=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
由角平分線的性質(zhì)可知：AF=OA=4，EF=EO，
∴CF=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$-4，
設(shè)CE=x，則EF=OE=-4k-x，
∵CE²=CF²+EF²
∴x²=（4$\sqrt{1+{k}^{2}}$-4）²+（-4k-x）²，
解得x=$\frac{4}{k}$[$\sqrt{1+{k}^{2}}$-（$\sqrt{1+{k}^{2}}$）²]，
∴CE=$\frac{4}{k}$[$\sqrt{1+{k}^{2}}$-（$\sqrt{1+{k}^{2}}$）²]，
∵∠CAE=∠OCD，∠ACE=∠CMB，
∴△CMB∽△ACE，
∴$\frac{BM}{CE}$=$\frac{CM}{AC}$，
∵點M是點C關(guān)于x軸對稱的點，
∴CM=-4k×2=-8k，
即$\frac{BM}{\frac{4}{k}[\sqrt{1+{k}^{2}}-（\sqrt{1+{k}^{2}}）^{2}]}$=$\frac{-8k}{4\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴BM=-8（1-$\sqrt{1+{k}^{2}}$），
∴AB+AC=2AC-BM=2×4$\sqrt{1+{k}^{2}}$+8（1-$\sqrt{1+{k}^{2}}$）=8．

點評 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了軸對稱的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．