Question

8．已知關于x的一元二次方程x²-2（k+1）x+k²+5=0的兩個實數根x₁、x₂，若（x₁-1）（x₂-1）=28，求k的值．

Answer 1

分析 先根據根的判別式的意義得到k≤-2，再根據根與系數的關系得x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²+5，接著變形（x₁-1）（x₂-1）=28得到x₁x₂-（x₁+x₂）+1=28，所以k²+5-2（k+1）+1=28，然后解方程求出滿足條件的k的值．

解答 解：根據題意得△=4（k-1）²-4（k²+5）≥0，解得k≤-2，
x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²+5，
∵（x₁-1）（x₂-1）=28，
∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1=28，
∴k²+5-2（k+1）+1=28，
整理得k²-2k-24=0，解得k₁=-4，k₂=6，
∵k≤-2，
∴k的值為-4．

點評 本題考查了根與系數的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式．