Question

19．如圖，已知BD是等腰Rt△ABC腰上的中線，AE⊥BD于點(diǎn)E，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，連接DF，求證：∠ADB=∠CDF．

Answer 1

分析 由∠BAC為直角，得到其它兩銳角互余，又根據(jù)AE與BD垂直，得到三角形ADF為直角三角形，故兩銳角也互余，根據(jù)同角的余角相等即可得證．

解答 證明：作AG平分∠BAC，交BD于點(diǎn)G
∵∠BAC=90°，AE⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB=∠ABE+∠ADB=90°，
∴∠ABG=∠CAF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠C=∠BAG=45°，
在△BAG和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABG=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠C=∠BAG=45°}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△CAF（ASA），
∴AG=CF，
在△AGD和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=FG}\\{∠GAD=∠C}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△DFC（SAS），
∴∠ADB=∠CDF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．添加合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．