Question

9．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC上的任意一點(diǎn)．
（1）過A、B、D三點(diǎn)作⊙O，交線段AC于點(diǎn)E（用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）若$\widehat{DE}$=$\widehat{DB}$，求證：AB是⊙O的直徑；
（3）在（2）的條件下，若AB=13，BC=10，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）作AB與BD的垂線，交于點(diǎn)O，點(diǎn)O就是△ABD的外心，⊙O交線段AC于點(diǎn)E；
（2）連結(jié)DE，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，即可得到AD是等腰三角形ABC底邊上的高線，從而證明AB是⊙O的直徑；
（3）連結(jié)BE，根據(jù)勾股定理得到關(guān)于AE的方程，解方程即可求解．

解答 （1）解：如圖，⊙O即為所求；

（2）證明：∵過A、B、D三點(diǎn)作⊙O，交線段AC于點(diǎn)E，
∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓，
∴∠DEC=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠DEC=∠ACB，
∴DE=CD，
∵$\widehat{DE}$=$\widehat{DB}$，
∴DE=BD，
∴CD=BD，
∴AD⊥BC，
∴AB是⊙O的直徑；

（3）解：連結(jié)BE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴BE⊥AC，
由勾股定理可得，AB²-AE²=BC²-（AC-AE）²，即13²-AE²=10²-（13-AE）²，
解得AE=$\frac{119}{13}$．
故AE的長是$\frac{119}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查的是作圖-復(fù)雜作圖，線段垂直平分線的作法，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，方程思想的應(yīng)用．