Question

10．在邊長為10的正方形ABCD中，以AB為直徑作半圓O，E是半圓上一動點，過點E作EF⊥AB，垂足為F，連結(jié)DE．
（1）如圖，當DE=10時，求證：DE與圓O相切；
（2）求DE的最長距離和最短距離；
（3）如圖，建立平面直角坐標系，當DE=10時，試求點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接OE，OD，由題意得，DE=DA=10，利用（SSS）判定△AOD≌△EOD，從可得∠OED=∠OAD=90°即可．
（2）當點E運動到與B點重合的位置時，如圖2，DE為正方形ABCD的對角線，所以此時DE最長，利用勾股定理求得DE，證明當點E運動到線段OD與半圓O的交點處時，DE最短．然后求得DE=OD-OE即可．
（3）當點E與點A重合時，DE=DA=10，此時，直線DE的解析式為y=10；如圖4，當點E與點A不重合時，過點E作GH⊥x軸，分別交AD，x軸于點G，H，連接OE．則四邊形AFEG是矩形，且DE為圓O的切線，求證△OFE∽△DGE，利用其對應邊成比例，設(shè)E（m，n），則有：EF=m，OF=OB-FB=5-n求得即可．

解答 證明：（1）如圖1，連接OE，OD，由題意得，
DE=DA=10，OA=OE=$\frac{1}{2}$AB=5，OD為公共邊，
在△AOD與△EOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=AD}\\{OA=OE}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△EOD（SSS），
∴∠OED=∠OAD=90°
∴OE⊥DE，
∴DE與圓O相切；

（2）當點E運動到與B點重合的位置時，如圖2，DE為正方形ABCD的對角線，所以此時DE最長，
有：DE=$\sqrt{{AD}^{2}{+AB}^{2}}$=10$\sqrt{2}$，
當點E運動到線段OD與半圓O的交點處時，DE最短，
證明如下：
在半圓O上任取一個不與點E重合的點E′，連接OE′，DE′．如圖3，
在△ODE′中，∵OE′+DE′＞OD即：OE′+DE′＞OE+DE，
∵OE′=OE，
∴DE′＞DE
∵點E′是任意一個不與點E重合的點，∴此時DE最短．
∴DE=OD-OE=$\sqrt{{{AD}^{2}+AO}^{2}}$-OE=$\sqrt{{10}^{3}{+5}^{2}}-5=5\sqrt{5}$-5；

（3）當點E與點A重合時，DE=DA=10，此時，直線DE的解析式為y=10；如圖4，
當點E與點A不重合時，過點E作GH⊥x軸，分別交AD，x軸于點G，H，連接OE．
則四邊形AFEG是矩形，
連接OD，
∵AD=DE，OA=OE，OD=OD，
∴△AOD≌△EOD，
∴∠OED=90°，
∴DE為圓O的切線
∴∠FEG=∠OED=90°
∴∠FEO=∠GED，
又∵∠OFE=∠DGE=90°
∴△OFE∽△DGE
∴$\frac{OF}{DG}$=$\frac{EF}{EG}=\frac{OE}{DE}$，
設(shè)E（m，n），則有：EF=m，OF=OB-FB=5-n
得：$\frac{5-n}{10-m}=\frac{m}{10-n}=\frac{5}{10}$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=2}\end{array}\right.$，
即：E（4，2）．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，勾股定理，切線的判定與性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．