Question

2．如圖，正方形AOCB的邊長為4，反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)E（3，4），與線段BC交于點(diǎn)D，直線y=-$\frac{1}{2}$x+b過點(diǎn)D，與線段AB相交于點(diǎn)F．
（1）求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）連接OF、OE，探究∠AOF與∠EOC的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）在x軸上找兩點(diǎn)M，N，使MN=2，且使四邊形AMND周長最小，求M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由E點(diǎn)坐標(biāo)可先求得反比例函數(shù)解析式，則可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，可求得直線DF解析式，可求得F點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在CD上取CG=AF=2，連接OG，連接EG并延長交x軸于點(diǎn)H，由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG，△EGB≌△HGC（ASA），故可得出EG=HG．設(shè)直線EG的解析式為y=mx+n，把E（3，4），G（4，2）代入即可求出直線EG的解析式，故可得出H點(diǎn)的坐標(biāo)，在Rt△AOF中，AO=4，AE=3，根據(jù)勾股定理得OE=5，可知OC=OE，即OG是等腰三角形底邊EF上的中線．所以O(shè)G是等腰三角形頂角的平分線，由此即可得出結(jié)論；
（3）取A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，過A′作AN′∥x軸到AN′=2，連接DN′交x軸于點(diǎn)N，過A′作A′M∥DN′，交x軸于點(diǎn)M，則M、N即為所求的點(diǎn)，由D、N′坐標(biāo)可求得直線DN′解析式，則可求得N點(diǎn)坐標(biāo)，由MN=2，則可求得M點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=$\frac{k}{x}$，
∵反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)E（3，4），
∴k=3×4=12，
∴反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=$\frac{12}{x}$，
∵正方形AOCB的邊長為4，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為4．
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3，即D（4，3），
∵點(diǎn)D在直線y=-$\frac{1}{2}$x+b上，
∴3=-$\frac{1}{2}$×4+b，解得b=5，
∴直線DF為y=-$\frac{1}{2}$x+5，
將y=4代入y=-$\frac{1}{2}$x+5，得4=-$\frac{1}{2}$x+5，解得x=2，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，4）；
（2）∠AOF=$\frac{1}{2}$∠EOC，理由如下：
在CD上取CG=AF=2，連接OG，連接EG并延長交x軸于點(diǎn)H，如圖1，

∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=90°，AF=CG=2，
∴△OAF≌△OCG（SAS），
∴∠AOF=∠COG，
∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=90°，BG=CG=2，
∴△EGB≌△HGC（ASA），
∴EG=HG，
設(shè)直線EG：y=mx+n，
∵E（3，4），G（4，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=4}\\{4m+n=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=10}\end{array}\right.$，
∴直線EG解析式為y=-2x+10，
令y=-2x+10=0，得x=5，
∴H（5，0），OH=5，
在Rt△AOE中，AO=4，AE=3，根據(jù)勾股定理得OE=5，
∴OH=OE．，
∴OG是等腰三角形底邊EH上的中線．
∴OG是等腰三角形頂角的平分線．
∴∠EOG=∠GOH．
∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF=$\frac{1}{2}$∠EOC；
（3）如圖2，取A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，過A′作AN′∥x軸到AN′=2，連接DN′交x軸于點(diǎn)N，過A′作A′M∥DN′，交x軸于點(diǎn)M，

則四邊形A′N′NM為平行四邊形，
∴MN=A′N′=2，A′M=NN′，
∵A、A′關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴AM=A′M=NN′，
∵D、N、N′在一條線上，
∴NN′+DN最小，
∴AM+DN最小，
∴四邊形AMND周長最小，即M、N為滿足條件的點(diǎn)，
由上可知N′（2，-4），且D（4，3），
設(shè)直線DN′解析式為y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=-4}\\{4m+n=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{7}{2}}\\{n=-11}\end{array}\right.$，
∴直線DN′解析式為y=$\frac{7}{2}$x-11，
令y=0可得0=$\frac{7}{2}$x-11，解得x=$\frac{22}{7}$，
∴N（$\frac{22}{7}$，0），即ON=$\frac{22}{7}$，
∴OM=ON-MN=$\frac{22}{7}$-2=$\frac{8}{7}$，
∴M（$\frac{8}{7}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)．在（1）中求得點(diǎn)D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出M、N的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．