Question

7．如圖，在等腰直角三角形ABC中，以斜邊AB的中點O為圓心的⊙O與AC相切于點D，與AB相交于點E，F(xiàn)，DF與CB的延長線交于點G．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求證：BF=BG；
（3）若AC=2，求CG的長．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，連接OD，過O作OH⊥BC于H，由⊙O與AC切于點D，得到∠ADO=∠OHB=90°，證得OD∥BC，推出△AOD≌△OBH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OH=OD，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ODF=∠G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODF=∠OFD，等量代換得到∠BFG=∠G，于是得到結(jié)論；
（3）根據(jù)平行線等分線段定理得到AD=CD，求得AD=CD=1，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程得到BG=$\sqrt{2}$-1，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖所示，連接OD，過O作OH⊥BC于H，
∵⊙O與AC切于點D，
∴∠ADO=∠OHB=90°，
又∵∠C=90°，
∴OD∥BC，
∴∠AOD=∠ABC，
又∵O是AB中點，
∴AO=BO，
在△AOD與△OBH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADO=∠BHO}\\{∠AOD=∠ABC}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△OBH，
∴OH=OD，
∴BC是⊙O的切線；

（2）∵OD∥BC，
∴∠ODF=∠G，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∵∠OFD=∠BFG，
∴∠BFG=∠G，
∴BF=BG；

（3）∵OD∥BC，AO=BO，
∴AD=CD，
又∵AC=2，
∴AD=CD=1，
∴OD=OF=CD=1，
∴OF=1，
∵OD∥CH，
∴△ODF∽△BGF，
又∵AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴OB=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{1}$=$\frac{BG}{\sqrt{2}-1}$，
∴BG=$\sqrt{2}$-1，
∴CG=2+BG=$\sqrt{2}$+1．

點評 本題考查了正方形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的推論、相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．