Question

13．如圖1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點P為直線BC上一動點，分別過B、C作BD⊥AP于D，CE⊥AP于E．

（1）若點P為CB延長線上一點，則線段BD、CE、DE是否存在某種確定的數(shù)量關系？寫出你的結(jié)論并證明．
（2）如圖2若點P為線段BC上一點，則線段BD、CE、DE是否存在某種確定的數(shù)量關系？畫圖并直接寫出你的結(jié)論DE=BD-CE（不證明）．
（3）如圖3，若點Q為線段AC上一點，分別過A、C作AD⊥BQ于D，CE⊥BQ于E，則線段AD、BD、CE是否存在某種確定的數(shù)量關系？直接寫出你的結(jié)論DB=AD+CE．（不證明）

Answer 1

分析 （1）先判斷出，∠BAD+∠CAE=90°，再判斷出，∠ABD+∠BAD=90°，即可得到∠ABD=∠CAE，進而得出，△ABD≌△CAE即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出，∠BAD+∠CAE=90°，再判斷出，∠ABD+∠BAD=90°，即可得到∠ABD=∠CAE，進而得出，△ABD≌△CAE即可得出結(jié)論；
（3）先用互余得出，∠BAD=∠AQD即可得出，△ABD∽△QAD，即：$\frac{DB}{AD}=\frac{AB}{AQ}$，再轉(zhuǎn)化成$\frac{DB-AD}{AD}=\frac{CQ}{AQ}$，再判斷出，△CEQ∽ADQ，即：$\frac{CE}{AD}=\frac{CQ}{AQ}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）DE=CE+BD，
理由：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵BD⊥AP，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
∵CE⊥AP，BD⊥AP，
∴∠ADB=∠CEA=90°
在△ABD和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CEA}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∴DE=AD+AE=CE+BD
（2）如圖2，


DE=BD-CE，
理由：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵BD⊥AP，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
∵CE⊥AP，BD⊥AP，
∴∠ADB=∠CEA=90°
在△ABD和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CEA}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∴DE=AE-AD=BD-CE，
故答案為：DE=BD-CE
（3）DB=AD+CE．
理由：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠QAD=90°，
∵AD⊥BQ，
∴∠QAD+∠AQD=90°，
∴∠BAD=∠AQD，
∵∠ADB=∠QDA，
∴△ABD∽△QAD，
∴$\frac{DB}{AD}=\frac{AB}{AQ}$，
∵AB=AC=AQ+CQ，
∴$\frac{DB}{AD}=\frac{AQ+CQ}{AQ}$，
∴$\frac{DB-AD}{AD}=\frac{CQ}{AQ}$
∵AD⊥BQ，CE⊥BQ，
∴∠ADQ=∠CEQ=90°，
∵∠AQD=∠CQE，
∴△CEQ∽ADQ，
∴$\frac{CE}{AD}=\frac{CQ}{AQ}$，
∴$\frac{DB-AD}{AD}=\frac{CE}{AD}$，
∴DB-AD=CE，
即：DB=AD+CE．
故答案為：DB=AD+CE．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判斷和性質(zhì)，比例的性質(zhì)，解本題的關鍵是判斷出，△ABD≌△CAE，難點是（3）中相似三角形的選用．是一道比較好的中考�？碱}．