Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CP與y軸交于點(diǎn)D，連結(jié)BD，過(guò)P，D，B三點(diǎn)作⊙Q與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，延長(zhǎng)DQ交⊙Q于點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF．
（1）求直線AB的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB（不包括A，B兩點(diǎn)）上時(shí)．∠DFE的度數(shù)是否為定值？如果是，請(qǐng)求出∠DFE度數(shù)，并寫(xiě)出推理過(guò)程；如果不是，請(qǐng)直接寫(xiě)出它的范圍．
（3）請(qǐng)你探究：點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以B，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為2：1？如果存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出直線AB的函數(shù)解析式；
（2）先證出△BDO≌△COD，得出∠BDO=∠CDO，再根據(jù)∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP，再連結(jié)PE，根據(jù)∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再證出∠DFE=∠DPE=45°，最后根據(jù)∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，得到答案；
（3）BD：BF=2：1時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥OB于點(diǎn)H，證出△BOD∽△FHB，再根據(jù)∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四邊形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4OD，根據(jù)DE=EF，求出OD的長(zhǎng)，從而得出直線CD的解析式，最后根求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；連結(jié)EB，先證出△DEF是等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥OB于點(diǎn)G，同理可得△BOD∽△FGB，得出FG，ODBG，再證出四邊形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直線CD的解析式，最后根即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為：y=kx+b，
由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
則直線AB的函數(shù)解析式為：y=-x+2；
（2）如圖1，連結(jié)PE，
在△BDO和△CDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠DOB=∠DOC}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△BDO≌△CDO，
∴∠BDO=∠CDO，
∵∠CDO=∠ADP，
∴∠BDE=∠ADP，
∵∠ADP是△DPE的一個(gè)外角，
∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，
∵∠BDE是△ABD的一個(gè)外角，
∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，
∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，
∴∠DPE=∠OAB，
∵OA=OB=6，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠DPE=45°，
∴∠DFE=∠DPE=45°，
∵DF是⊙Q的直徑，
∴∠DEF=90°，
∴∠DFE=45°；
（3）當(dāng)BD：BF=2：1時(shí)，
①如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥OB于點(diǎn)H，
∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，
∴∠DBO=∠BFH，
又∵∠DOB=∠BHF=90°，
∴△BOD∽△FHB，
∴$\frac{OB}{HF}$=$\frac{OD}{HB}$=$\frac{BD}{FB}$=2，
∴FH=1，OD=2BH，
∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，
∴四邊形OEFH是矩形，
∴OE=FH=1，
∴EF=OH=2-$\frac{1}{2}$OD，
∵DE=EF，
∴1+OD=2-$\frac{1}{2}$OD，
解得：OD=$\frac{2}{3}$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，$\frac{2}{3}$），
∴直線CD的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）；
當(dāng)BD：BF=1：2時(shí)，
如圖3，連結(jié)EB，同（2）可得：∠ADB=∠EDP，
∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，
∵∠DEB=∠DPA，
∴∠DBE=∠DAP=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥OB于點(diǎn)G，
同理可得：△BOD∽△FGB，
$\frac{OB}{GF}$=$\frac{OD}{GB}$=$\frac{BD}{FB}$=$\frac{1}{2}$，
∴FG=4，OD=$\frac{1}{2}$BG，
∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，
∴四邊形OEFG是矩形，
∴OE=FG=4
∴EF=OG=2+2OD，
∵DE=EF，
∴4-OD=2+2OD，
解得，OD=$\frac{2}{3}$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-$\frac{2}{3}$）
直線CD的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{2}{3}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-2），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）或（4，-2）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了圓的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是一次函數(shù)、矩形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)，關(guān)鍵是綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)作出輔助線，列出方程組．