Question

17．某地政府計(jì)劃為農(nóng)戶購買農(nóng)機(jī)設(shè)備提供補(bǔ)貼．其中購買Ⅰ型、Ⅱ型設(shè)備農(nóng)民所投資的金額與政府補(bǔ)貼的額度存在下表所示的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系．

型號 金額	Ⅰ型設(shè)備		Ⅱ型設(shè)備
投資金額x（萬元）	x	5	x	2	4
補(bǔ)貼金額y（萬元）	y1=kx（k≠0）	2	y2=ax2+bx（a≠0）	2.8	4

（1）分別求y₁和y₂的函數(shù)解析式；
（2）有一農(nóng)戶共投資10萬元購買Ⅰ型、Ⅱ型兩種設(shè)備，兩種設(shè)備的投資均為整數(shù)萬元，要想獲得最大補(bǔ)貼金額，應(yīng)該如何購買？能獲得的最大補(bǔ)貼金額為多少？

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法直接就可以求出y₁與y₂的解析式．
（2）設(shè)總補(bǔ)貼金額為W萬元，購買Ⅱ型設(shè)備a萬元，購買Ⅰ型設(shè)備（10-a）萬元，建立等式就可以求出其值．

解答 解：（1）設(shè)購買Ⅰ型設(shè)備補(bǔ)貼的金額的解析式為：y₁=kx，購買Ⅱ型設(shè)備補(bǔ)貼的金額的解析式為y₂=ax²+bx，
由題意，得：2=5k，或$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=2.8}\\{16a+4b=4}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{2}{5}$，$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{5}}\\{b=\frac{9}{5}}\end{array}\right.$，
∴y₁的解析式為：y₁=$\frac{2}{5}$x，y₂的函數(shù)解析式為：y₂=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{9}{5}$x．

（2）設(shè)投資Ⅱ型設(shè)備a萬元，Ⅰ型設(shè)備（10-a）萬元，補(bǔ)貼金額為W萬元：
所以W=y₁+y₂=$\frac{2}{5}$（10-a）+（-$\frac{1}{5}$a²+$\frac{9}{5}$a）
=-$\frac{1}{5}$（a-$\frac{7}{2}$）²+$\frac{129}{20}$
所以當(dāng)a=3或4時(shí)，W的最大值=$\frac{32}{5}$，所
以投資Ⅰ型設(shè)備7萬元，Ⅱ型設(shè)備3萬元；或投資Ⅰ型設(shè)備6萬元，Ⅱ型設(shè)備4萬元，獲得最大補(bǔ)貼金額，最大補(bǔ)貼金額為$\frac{32}{5}$萬元．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的運(yùn)用，拋物線的頂點(diǎn)式的運(yùn)用．在求解析式中，待定系數(shù)法時(shí)常用的方法．二次函數(shù)的一般式化頂點(diǎn)式是求最值的常用方法．