Question

8．已知如圖，拋物線y=x²+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．若A（-1，0），且OC=3OA
（1）求拋物線的解析式
（2）若M點(diǎn)為拋物線上第四象限內(nèi)一動點(diǎn)，順次連接AC、CM、MB，求四邊形MBAC面積的最大值
（3）將直線BC沿x軸翻折交y軸于N點(diǎn)，過B點(diǎn)的直線l交y軸、拋物線分別于D、E，且D在N的上方．將A點(diǎn)繞O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得M，若∠NBD=∠MBO，試求E點(diǎn)的坐標(biāo)

Answer 1

分析 （1）由條件可先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）可先求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線BC解析式，可設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，表示出△BCM的面積，再根據(jù)二次函數(shù)的最值可求得△BCM的最大值，則可求得四邊形MBAC的面積的最大值；
（3）過點(diǎn)M作MF⊥BM交BE于F，過點(diǎn)F作FH⊥y軸于點(diǎn)H，結(jié)合條件可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，則可求得直線BF的解析式，聯(lián)立直線BF和拋物線解析式可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵A（-1，0），
∴OA=1，OC=3OA=3，
∴C（0，-3），
將A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x²+mx+n中，
得$\left\{\begin{array}{l}{1-m+n=0}\\{n=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴y=x²-2x-3；
（2）令y=0，則x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴B（3，0），
∴直線BC的解析式為y=x-3，
當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)，四邊形MBAC的面積最大，
設(shè)M（m，m²-2m-3），
過點(diǎn)M作MN∥y軸交BC于N，如圖1，

∴N（m，m-3），
∴MN=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時(shí)，MN有最大值$\frac{9}{4}$，
∴S_△BCM的最大值為$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×3=$\frac{27}{8}$，
∴S_{四邊形MBAC}=S_△ABC+S_△BCM=6+$\frac{27}{8}$=$\frac{75}{8}$；
（3）∵OB=OC=ON，
∴BON為等腰直角三角形，
∵∠OBM+∠NBM=45°，
∴∠NBD+∠NBM=∠DBM=45，
過點(diǎn)M作MF⊥BM交BE于F，過點(diǎn)F作FH⊥y軸于點(diǎn)H，如圖2，

由三垂直得，F(xiàn)（1，4），
∴直線BF的解析式為y=-2x+6，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+6}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=12}\end{array}\right.$，
∴E（-3，12）．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、一元二次方程、二次函數(shù)的最值、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示出△BCM是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得點(diǎn)F的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．