Question

18．如圖，在△ABC中，點O是邊上一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交△BCA的外角平分線于點F．
（1）探究OE與OF的數量關系并加以證明；
（2）當點O在邊AC運動時，四邊形BCFE會是菱形嗎？若是，請加以證明；若不是，則說明理由．
（3）當點O在AC運動到什么位置，四邊形AECF是矩形，請說明理由；
（4）在（3）問的基礎上，△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？為什么？

Answer 1

分析 （1）由已知MN∥BC，CE、CF分別平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，所以得EO=CO=FO．
（2）菱形的判定問題，若使菱形，則必有四條邊相等，對角線互相垂直．
（3）由（1）得出的EO=CO=FO，點O運動到AC的中點時，則由EO=CO=FO=AO，所以這時四邊形AECF是矩形．
（4）由已知和（3）得到的結論，點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，則推出四邊形AECF是矩形且對角線垂直，所以四邊形AECF是正方形．

解答 解：（1）OE=OF，
理由：∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；

（2）不可能．
如圖所示，連接BF，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF=$\frac{1}{2}$∠ACB+$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$（∠ACB+∠ACD）=90°，
若四邊形BCFE是菱形，則BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在兩個角為90°，所以不存在其為菱形．

（3）當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．
理由如下：
∵當點O運動到AC的中點時，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四邊形AECF是矩形；

（4）當點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形．
∵由（3）知，當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，
已知MN∥BC，當∠ACB=90°，則
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形．

點評 此題考查的是正方形和矩形的判定，角平分線的定義，平行線的性質，等腰三角形的判定等知識．解題的關鍵是由已知得出EO=FO，然后根據（1）的結論確定（3）（4）的條件．