Question

8．銳角△ABC內(nèi)接于圓，過點(diǎn)A和點(diǎn)C引外接圓的切線，它們分別交過點(diǎn)B的切線于M，N，而BP是△ABC 邊AC上的高（P為垂足），求證：∠MPB=∠NPB．

Answer 1

分析 過M作MD⊥AC于D，過N作NE⊥AC于E，由MN是⊙O的切線，根據(jù)弦切角定理等等∠NAB=∠ACB，∠NCB=∠CAB，于是得到∠MAC=∠NCA，∠DAM=∠ECN，推出△ADM∽△CEN，得到$\frac{MD}{NE}=\frac{DP}{EP}$，由MD∥BP∥NE，得到$\frac{MB}{NB}=\frac{DP}{EP}$，由于MA，NC分別是⊙O的切線，得到AM=BM，CN=BN，于是得到$\frac{MD}{NE}=\frac{MA}{NC}=\frac{MB}{NB}=\frac{DP}{EP}$，證得R_t△DMP∽R(shí)_t△ENP，即可得出結(jié)論．

解答 證明：過M作MD⊥AC于D，過N作NE⊥AC于E，
∵M(jìn)N是⊙O的切線，
∴∠NAB=∠ACB，∠NCB=∠CAB，
∴∠MAC=∠NCA，∠DAM=∠ECN，
∴△ADM∽△CEN，
∴$\frac{MD}{NE}=\frac{DP}{EP}$，
∵M(jìn)D⊥AC，NE⊥AC，BP⊥AC，
∴MD∥BP∥NE，
∴$\frac{MB}{NB}=\frac{DP}{EP}$，
∵M(jìn)A，NC分別是⊙O的切線，
∴AM=BM，CN=BN，
∴$\frac{MD}{NE}=\frac{MA}{NC}=\frac{MB}{NB}=\frac{DP}{EP}$，
∴R_t△DMP∽R(shí)_t△ENP，
∴∠DPM=EPN，
∴∠MPB=∠NPB．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，弦切角定理，正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．