Question

已知BD平分∠ABC，BD交AC于點D，過D作DF∥AB交BC于點F，過F作EF∥AC交AB于點E，若四邊形BEDF為平行四邊形，求證：△ABC為等腰三角形．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),等腰三角形的判定

專題：證明題,數(shù)形結(jié)合

分析：由BD平分∠ABC，四邊形BEDF為平行四邊形，易證得四邊形BEDF為菱形，又由EF∥AC，易證得四邊形CDEF是平行四邊形，即可得DE=BF=BE=FC，則可得△BEF是等邊三角形，△BCD與△BEC是直角三角形，繼而證得結(jié)論．

解答：證明：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠FBD，
∵四邊形BEDF為平行四邊形，
∴DE∥BC，BE=DF
∴∠EDB=∠FDB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，
四邊形BEDF為菱形，
∵EF∥AC，
∴四邊形CDEF是平行四邊形，
∴DE=FC，
∴DE=BF=BE=FC，
∴△BEF是等邊三角形，△BCD與△BEC是直角三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠CBD=30°，
∴∠ACB=60°，
∴△ABC是等腰三角形．

點評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的判定．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．