Question

16．如圖，已知二次函數(shù)y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4的圖象與y軸交于點A，與x軸交于B、C兩點，其對稱軸與x軸交于點D，連接AC．

（1）點A的坐標為（0，4），點C的坐標為（8，0）；
（2）線段AC上是否存在點E，使得△EDC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點P為x軸上方的拋物線上的一個動點，連接PA、PC，若所得△PAC的面積為S，則S取何值時，相應的點P有且只有兩個，并求出此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）拋物線的解析式中，令x=0即得二次函數(shù)與y軸交點A的縱坐標，令y=0即得二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標．
（2）根據(jù)A、C的坐標，易求得直線AC的解析式，由于等腰△EDC的腰和底不確定，因此要分成三種情況討論：
①CD=DE，由于OD=3，OA=4，那么DA=DC=5，此時A點符合E點的要求，即此時A、E重合；
②CE=DE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質知：E點橫坐標為點D的橫坐標加上CD的一半，然后將其代入直線AC的解析式中，即可得到點E的坐標；
③CD=CE，此時CE=5，過E作EG⊥x軸于G，已求得CE、CA的長，即可通過相似三角形（△CEG∽△CAO）所得比例線段求得EG、CG的長，從而得到點E的坐標．
（3）過P作x軸的垂線，交AC于Q，交x軸于H；設出點P的橫坐標（設為m），根據(jù)拋物線和直線AC的解析式，即可表示出P、Q的縱坐標，從而可得到PQ的長，然后分兩種情況進行討論：
①P點在第一象限時，即0＜m＜8時，可根據(jù)PQ的長以及A、C的坐標，分別表示出△APQ、△CPQ的面積，它們的面積和即為△APC的面積，由此可得到S的表達式，通過配方即可得到S的取值范圍；
②當P在第二象限時，即-2＜m＜0時，同①可求得△APQ、△CPQ的面積，此時它們的面積差為△APC的面積，同理可求得S的取值范圍；根據(jù)兩個S的取值范圍，即可判斷出所求的結論．

解答 解：（1）在二次函數(shù)中，令x=0得y=4，
∴點A的坐標為（0，4），
令y=0得，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=0
即：x²-6x-16=0，
∴x=-2和x=8，
∴點B的坐標為（-2，0），點C的坐標為（8，0）．
故答案為：（0，4）；（8，0）．
（2）∵點D是二次函數(shù)y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4的對稱軸與x軸的交點，
∴D（3，0），CD=5，
設直線AC對應的函數(shù)關系式為y=kx+b，則：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$；
∴y=-$\frac{1}{2}$x+4；
①當DE=DC時，
∵OA=4，OD=3，
∴DA=5，
∴E₁（0，4）；
②如圖1，

過E點作EG⊥x軸于G點，
當DE=EC時，由DG=$\frac{8-3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
把x=OD+DG=3+$\frac{5}{2}$=$\frac{11}{2}$代入到y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x+4，求出y=$\frac{5}{4}$，
可得E₂（$\frac{11}{2}$，$\frac{5}{4}$）；
③當DC=EC時，如圖，過點E作EG⊥CD，
則△CEG∽△CAO，
∴$\frac{EG}{OA}=\frac{CG}{OC}=\frac{CE}{AC}$，又OA=4，OC=8，則AC=4$\sqrt{5}$，DC=EC=5，
∴EG=$\sqrt{5}$，CG=2$\sqrt{5}$，
∴E₃（8-2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）；
綜上所述，符合條件的E點共有三個：E₁（0，4）、E₂（$\frac{11}{2}$，$\frac{5}{4}$）、E₃（8-2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．

（3）如圖2，

過P作PH⊥OC，垂足為H，交直線AC于點Q；
設P（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4），則Q（m，-$\frac{1}{2}$m+4）．
①當0＜m＜8時，
PQ=（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4）-（-$\frac{1}{2}$m+4）=-$\frac{1}{4}$m²+2m，
S=S_△APQ+S_△CPQ=$\frac{1}{2}$×8×（-$\frac{1}{4}$m²+2m）=-（m-4）²+16，
∴0＜S≤16；
②當-2≤m＜0時，
PQ=（-$\frac{1}{2}$m+4）-（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4）=$\frac{1}{4}$m²-2m，
S=S_△CPQ-S_△APQ=$\frac{1}{2}$×8×（$\frac{1}{4}$m²-2m）=（m-4）²-16，
∴0＜S＜20；
∴當0＜S＜16時，0＜m＜8中有m兩個值，-2＜m＜0中m有一個值，此時有三個；
當16＜S＜20時，-2＜m＜0中m只有一個值；
當S=16時，m=4或m=4-4$\sqrt{2}$或m=4+4$\sqrt{2}$（舍），
∴S=16時，相應的點P有且僅有兩個，
當m=4時，S=16，
∴y=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4=6，
∴P（4，6），
當m=4-4$\sqrt{2}$時，y=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4=2$\sqrt{2}$-2，
∴P（4-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$-2），
即：P（4，6）或（4-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$-2）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象與坐標軸交點坐標的求法、等腰三角形的構成條件、圖形面積的求法等知識，（3）題的解題過程并不復雜，關鍵在于理解題意．