Question

6．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，延長DC，AB交于點E，且BE=BC．
（1）求證：△ADE是等腰三角形；
（2）若∠D=90°，⊙O的半徑為5，BC：DC=1：$\sqrt{2}$，求△CBE的周長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定定理證明；
（2）連接AC，設(shè)BC=k，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)用k表示出AD、DC，根據(jù)勾股定理計算即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠A=∠BCE，
∵BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴∠A=∠BEC，
∴DA=DE，即△ADE是等腰三角形；
（2）連接AC，
設(shè)BC=k，則CD=$\sqrt{2}$k，
∵∠D=90°，
∴∠CBE=∠D=90°，又BE=BC，
∴∠E=45°，
∴BE=BC=k，EC=$\sqrt{2}$k，
∴DE=2$\sqrt{2}$k，
由勾股定理得，AC=$\sqrt{10}$k，
∵⊙O的半徑為5，
∴$\sqrt{10}$k=10，
解得，k=$\sqrt{10}$，
∴△CBE的周長為：2$\sqrt{10}$+2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角是解題的關(guān)鍵，解答時，注意方程思想的靈活運用．