Question

如圖，已知CD是△ABC中∠ACB的角平分線，E是AC上的一點，且CD²=BC•CE，AD=6，AE=4．
（1）求證：△BCD∽△DCE；
（2）求證：△ADE∽△ACD；
（3）求CE的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，可得答案；
（2）根據(jù)兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，可得答案；
（3）根據(jù)兩個三角形相似，對應(yīng)邊成比例，可得答案．

解答：（1）證明：CD是△ABC中∠ACB的角平分線，
∴∠BCD=∠DCE．
∵CD²=BC•CE，
∴

CD

BC

=

CE

CD

，
∴△BCD∽△DCE（兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似）；

（2）證明：∵△BCD∽△DCE，
∴∠EDC=∠DBC（相似三角形的對應(yīng)角相等）．
∵∠ADC=∠DBC+∠DCB（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），
∠ADC=∠ADE+∠EDC，
∴∠ADE=∠ACD．
∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD（兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）；

（3）解：∵△ADE∽△ACD，
∴

AD

AC

=

AE

AD

，

6

AC

=

4

6

AC=9，
CE=AC-AE=9-4=5．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．