Question

6．如圖1，正方形ABCD的邊長為1，E為AB邊上一動點(diǎn)，BE的長為x，連接DE，過B作BF∥DE交CD于點(diǎn)F，以CF為邊作正方形CFMN，且點(diǎn)N在BC邊的延長線．
（1）求證：四邊形BEDF為平行四邊形；
（2）連接DN，EN，且EN與BF交于點(diǎn)G．
①判斷△EDN的形狀，并說明理由；
②若點(diǎn)G為EN的中點(diǎn)，求x的值．
（3）如圖2，連接DE、DM，求當(dāng)x為何值時(shí)，△EDM的面積取得最小值，并求△EDM的面積最小值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，證明四邊形BEDF為平行四邊形；
（2）①如圖1，先證明△BCF≌△DCN，得BF=DN，由?BEDF，得DE=BF，則ED=DN，再證明Rt△ADE≌Rt△CDN，所以∠ADE=∠CDN，則△EDN是等腰直角三角形；
②如圖2，作輔助線，表示出PG、BP、CF的長，利用平行證明△BPG∽△BCF，列式例式得：x=2$±\sqrt{2}$，并根據(jù)0＜x＜1，得出最后的值；
（3）如圖3，作輔助線，根據(jù)所求三角形面積等于矩形面積減去兩個(gè)小三角形面積和一個(gè)梯形面積得到關(guān)于x的二次函數(shù)表達(dá)式，求最值即可．

解答 證明：（1）如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB∥CD，
∵DE∥BF，
∴四邊形BEDF為平行四邊形；
（2）①如圖1，△EDN是等腰直角三角形，理由是：
∵四邊形CFMN為正方形，
∴CF=CN，∠DCN=∠DCB=90°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC=CD，
∴△BCF≌△DCN，
∴BF=DN，
∵四邊形BEDF為平行四邊形，
∴BF=ED，
∴ED=DN，
∵AD=DC，
∴Rt△ADE≌Rt△CDN，
∴∠ADE=∠CDN，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠CDN+∠EDC=90°，
即∠EDN=90°，
∴△EDN是等腰直角三角形；
②過G作GP⊥BN于P，如圖2，則PG∥BE，
∵BE=x，AE=1-x，
由①得：CN=AE=1-x，
∴BN=BC+CN=1+1-x=2-x，
∵G是EN的中點(diǎn)，
∴BP=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{1}{2}$（2-x）=1-$\frac{x}{2}$，
∴PG=$\frac{1}{2}$EB=$\frac{x}{2}$，
∵PG⊥BC，DC⊥BC，
∴PG∥DC，
∴△BPG∽△BCF，
∴$\frac{BP}{BC}=\frac{PG}{CF}$，
∴$\frac{1-\frac{x}{2}}{1}$=$\frac{\frac{x}{2}}{1-x}$，
解得：x=2±$\sqrt{2}$，
∵0＜x＜1，且2+$\sqrt{2}$＞1，0＜2-$\sqrt{2}$＜1，
∴x=2-$\sqrt{2}$；
（3）延長AD、NM于K，
則S_△EDM=S_矩形ABNK-S_△ADE-S_△DKM-S_梯形EBNM，
=（2-x）•1-$\frac{1}{2}$（1-x）•1-$\frac{1}{2}$•x•（1-x）-$\frac{1}{2}$（1-x+x）（2-x），
=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{8}$，
∵$\frac{1}{2}$＜0，
∴△EDM的面積取得最小值，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，△EDM的面積最小值是$\frac{3}{8}$．

點(diǎn)評 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形、平行四邊形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，知道兩腰相等的直角三角形是等腰直角三角形，其銳角為45°，將面積的最值問題，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)面積公式列二次函數(shù)的表達(dá)式，利用配方法求解．