Question

9．二次函數(shù)y₁═ax²+2x過點(diǎn)A（-2，0）、與點(diǎn)O和點(diǎn)B，過點(diǎn)A，B作一次函數(shù)y₂=kx+b，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1．
（1）求出二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）直接寫出y₂＞y₁時(shí)，x的取值范圍；
（3）在拋物線上，是否存在一點(diǎn)P，使△PAB的面積等于△ABO的面積？若存在求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）如圖1，根據(jù)圖象直接寫出y₂＞y₁時(shí)，-2＜x＜1；
（3）如圖2，觀察△PAB和△ABO，有一公共邊AB，由平行線的距離相等，和同底邊等高的兩三角形面積相等作AB的兩條平行線，這兩條平行線與拋物線的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，這樣的P點(diǎn)有三個(gè)符合題意．

解答 解：（1）如圖1，把A（-2，0）代入y₁═ax²+2x中得：4a+2×（-2）=0，
a=1，
∴二次函數(shù)的解析式y(tǒng)₁═x²+2x，
當(dāng)x=1時(shí)，y₁=1+2=3，
∴B（1，3），
把A（-2，0）、B（1，3）代入y₂=kx+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式：y₂=x+2，
則二次函數(shù)解析式為：y₁═x²+2x，一次函數(shù)的解析式為y₂=x+2；
（2）如圖1，由圖象得：當(dāng)-2＜x＜1時(shí)，y₂＞y₁；
（3）如圖2，存在，
過O作OP₁∥AB，交拋物線于P₁，
則OP₁的解析式為：y=x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}+2x}\end{array}\right.$，
x²+2x=x，
x（x+1）=0，
x₁=0（舍），x₂=-1，
當(dāng)x₂=-1時(shí)，y=-1，
∴P₁（-1，-1），
當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴C（0，2），
∴在y軸取一點(diǎn)D（0，4），過D作DP₂∥AB，交拋物線于P₂、P₃，
則DP₂的解析式為：y=x+4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{y={x}^{2}+2x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{7+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$   $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{7-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴P₂（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$），P₃（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{7+\sqrt{17}}{2}$），
綜上所述，當(dāng)P₁（-1，-1）或P₂（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$）或P₃（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{7+\sqrt{17}}{2}$）時(shí)，△PAB的面積等于△ABO的面積．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；是常考題型，同時(shí)采用數(shù)形結(jié)合的方式解決問題，如第二問直接由圖象得出x的取值范圍；對(duì)于第（3）問的面積問題，要看清是哪兩個(gè)三角形，有時(shí)會(huì)給出△AOB和△AOP的面積相等，這樣要簡(jiǎn)單一些，本題是△PAB的面積等于△ABO的面積，由平行線保證等高來解決問題，同時(shí)運(yùn)用了兩直線平行，則一次項(xiàng)系數(shù)相等這一結(jié)論．