Question

16．如圖，半徑為1cm，圓心角為90°的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為（　　）

• A． πcm²
• B． $\frac{2}{3}$πcm²
• C． $\frac{1}{2}$cm²
• D． $\frac{2}{3}$cm²

Answer 1

分析 過點(diǎn)C作CD⊥OB，CE⊥OA，則△AOB是等腰直角三角形，由∠ACO=90°，可知△AOC是等腰直角三角形，由HL定理可知Rt△OCE≌Rt△ACE，故可得出S_扇形OEC=S_扇形AEC，$\widehat{OC}$與弦OC圍成的弓形的面積等于$\widehat{AC}$與弦AC所圍成的弓形面積，S_陰影=S_△AOB即可得出結(jié)論．

解答 解：過點(diǎn)C作CD⊥OB，CE⊥OA，
∵OB=OA，∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OA是直徑，
∴∠ACO=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵CE⊥OA，
∴OE=AE，OC=AC，
在Rt△OCE與Rt△ACE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OC=AC}\\{OE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△OCE≌Rt△ACE，
∵S_扇形OEC=S_扇形AEC，
∴$\widehat{OC}$與弦OC圍成的弓形的面積等于$\widehat{AC}$與弦AC所圍成的弓形面積，
同理可得，$\widehat{OC}$與弦OC圍成的弓形的面積等于$\widehat{BC}$與弦BC所圍成的弓形面積，
∴S_陰影=S_△AOB=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$cm²．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是扇形面積的計(jì)算與等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形得出S_陰影=S_△AOB是解答此題的關(guān)鍵．