Question

16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，點D在邊AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足為點E，聯(lián)結(jié)CE．求：
（1）線段BE的長；
（2）cos∠ECB的值．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B=45°，由勾股定理求出AB=3$\sqrt{2}$，求出∠ADE=∠A=45°，由三角函數(shù)得出AE=$\sqrt{2}$，即可得出BE的長；
（2）過點E作EH⊥BC，垂足為點H，由三角函數(shù)求出EH=BH=BE•cos45°=2，得出CH=1，根據(jù)勾股定理求出EC，在Rt△CHE中，由三角函數(shù)求出cos∠ECB=$\frac{CH}{CE}$，即可求出答案．

解答 解：（1））∵AD=2CD，AC=3，
∴AD=2，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，
∴∠A=∠B=45°，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，
∴AE=AD•cos45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
∴BE=AB-AE=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
即線段BE的長為2$\sqrt{2}$；

（2）過點E作EH⊥BC，垂足為點H，如圖所示：
∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°，
∴EH=BH=BE•cos45°=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，
∵BC=3，
∴CH=1，
∴EC=$\sqrt{E{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$
在Rt△CHE中，cos∠ECB=$\frac{CH}{CE}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了解直角三角形，用到的知識點是勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，通過作輔助線求出CH是解決問題（2）的關(guān)鍵．