Question

11．如圖，矩形ABCD中，AB=2，將矩形ABCD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A、C分別落在點(diǎn)A′、C′處，如果點(diǎn)A′、C′、B在同一條直線上，那么tan∠CBA′的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}-1}{4}$

Answer 1

分析 如圖，連接B、A′、C′，由題意可知∠CBA′=∠AC′D，可設(shè)AD=x，則可知A′D=x，A′C=2-x，在Rt△CBA′和Rt△A′C′D中，利用正切函數(shù)的定義可得關(guān)于x的方程，可求得x的值，再由正切函數(shù)的定義可求得答案．

解答 解：
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB=CD=2，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=AD′，C′D=AB=2，
設(shè)AD=x，則A′D=x，A′C=2-x，
∵A′、C′、B在同一條直線上，且A′B′∥C′D，
∴∠CBA′=∠DC′A′，
∴tan∠CBA′=tan∠DC′A′，
即$\frac{x}{2}$=$\frac{2-x}{x}$，解得x=-1+$\sqrt{5}$或x=-1-$\sqrt{5}$（小于0，不合題意，舍去），
∴tanCBA′=$\frac{x}{2}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故選B．

點(diǎn)評 本題主要考查矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正切函數(shù)的定義求得矩形的寬是解題的關(guān)鍵．