Question

11．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC的長(zhǎng)為6cm，面積是27cm²，D為BC邊長(zhǎng)的中點(diǎn)．
（1）作腰AB的垂直平分線EF交AB于E，交AC于F（尺規(guī)作圖，保留痕跡．不寫(xiě)作法）：
（2）P為（1）中線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PBD的最短周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用作已知線段的垂直平分線的方法作圖即可；
（2）連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線可知，點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長(zhǎng)為BP+PD的最小值，由此即可得出△PBD的最短周長(zhǎng)．

解答 解：（1）作圖如下：

（2）如圖，

連接AD，
∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×6×AD=27，解得AD=9cm，
∵EF是線段AB的垂直平分線，
∴點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A，
∴AD的長(zhǎng)為BP+PD的最小值，
∴△BDP的周長(zhǎng)最短=（BP+PD）+BD=AD+$\frac{1}{2}$BC=9+$\frac{1}{2}$×6=12cm．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了作圖-復(fù)雜作圖，等腰三角形及中垂線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出圖形．