Question

7．已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，tanA=$\frac{4}{3}$．點(diǎn)D由A出發(fā)沿AC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E由B出發(fā)沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度相同，點(diǎn)F在AB上，F(xiàn)E=4cm，且點(diǎn)F在點(diǎn)E的下方，當(dāng)點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)也停止運(yùn)動(dòng)，連接DF，設(shè)AD=x（0≤x≤6）．解答下列問(wèn)題：
（1）如圖1，當(dāng)x為何值時(shí)，△ADF為直角三角形；
（2）如圖2，把△ADF沿AB翻折，使點(diǎn)D落在D′點(diǎn)．
①當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形ADFD′為菱形？并求出菱形的面積；
②如圖3，連接D′E，設(shè)D′E為y，請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
③如圖4，分別取D′F，D′E的中點(diǎn)M，N，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試確定線段MN掃過(guò)的區(qū)域的形狀，并求其面積（直接寫出答案）．

Answer 1

分析 （1）△ADF為直角三角形，有兩種可能：∠ADF=90°或∠AFD=90°，根據(jù)銳角三角函數(shù)列方程求解即可；
（2）①根據(jù)菱形的判定，可知當(dāng)AD=DF時(shí)，四邊形ADFD′為菱形，根據(jù)銳角三角函數(shù)列方程求出x，計(jì)算菱形的面積即可；
②根據(jù)銳角三角函數(shù)表示出AG、D′G、GE，根據(jù)勾股定理列出函數(shù)表達(dá)式；
③根據(jù)三角形中位線定理可知線段MN掃過(guò)的區(qū)域的形狀是平行四邊形，其面積為$\frac{24}{5}$．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，BC=8，tanA=$\frac{4}{3}$，
∴BC=8，AB=10，
∴AD=x，BE=x，AF=6-x，
當(dāng)∠ADF=90°，如圖1左圖，
∵tanA=$\frac{4}{3}$，
∴cosA=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AD}{AF}=\frac{x}{6-x}=\frac{3}{5}$，
∴$x=\frac{9}{4}$；
當(dāng)∠AFD=90°，如圖1右圖，
∵tanA=$\frac{4}{3}$
∴cosA=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AF}{AD}=\frac{6-x}{x}=\frac{3}{5}$，
∴$x=\frac{15}{4}$，
∴當(dāng)$x=\frac{9}{4}$或$x=\frac{15}{4}$，△ADF為直角三角形；
（2）①如圖2，
∵AD=AD′，D′F=DF，
∴當(dāng)AD=DF時(shí)，四邊形ADFD′為菱形，
∴連接DD′⊥AF于G，AG=$\frac{6-x}{2}$，
∵tanA=$\frac{4}{3}$
∴cosA=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AG}{AD}=\frac{{\frac{6-x}{2}}}{x}=\frac{3}{5}$，
∴x=$\frac{30}{11}$，
S_菱形=$\frac{1}{2}×DD'×AF=\frac{1}{2}×\frac{48}{11}×\frac{36}{11}=\frac{864}{121}$；
②如圖3，作D′G⊥AF于G，
∵tanA=$\frac{4}{3}$，
∴cosA=$\frac{3}{5}$，sinA=$\frac{4}{5}$，
∴$AG=\frac{3}{5}x，D'G=\frac{4}{5}x$
∴$GE=10-x-\frac{3}{5}x=10-\frac{8}{5}x$，
∴$y=\sqrt{{{（10-\frac{8}{5}x）}^2}+{{（\frac{4}{5}x）}^2}}=\sqrt{\frac{16}{5}{x^2}-32x+100}$=2$\sqrt{\frac{4}{5}{x}^{2}-8x+25}$；       
（3）平行四邊形，$\frac{24}{5}$．
∵M(jìn)、N分別為D′F、D′E的中點(diǎn)，
∴MN∥EF，MN=$\frac{1}{2}$EF=2，
∴線段MN掃過(guò)的區(qū)域的形狀是平行四邊形，
當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到C，則F正好運(yùn)動(dòng)到A，此時(shí)MA=$\frac{1}{2}$D′A=$\frac{1}{2}$DA=3，
∵∠DAB=∠D′AB，
∴tanA=tan∠D′AB=$\frac{4}{3}$，
點(diǎn)M到AB的距離設(shè)為4x，則（3x）²+（4x）²=3²，
解得：x=$\frac{3}{5}$，
4x=$\frac{12}{5}$，
∴線段MN掃過(guò)的區(qū)域的形狀是平行四邊形的面積=2×$\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了銳角三角函數(shù)、直角三角形的判定、菱形的判定、勾股定理以及三角形中位線性質(zhì)的綜合運(yùn)用，具備較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合能力是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．