Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)中，過(guò)點(diǎn)A（4，0）的拋物線y=-x²+bx與直線y=-x+b交于另一點(diǎn)B．過(guò)拋物線y=-x²+bx的頂點(diǎn)E作EF⊥x軸于F點(diǎn)，點(diǎn)M（t，d）為拋物線y=-x²+bx在x軸上方的動(dòng)點(diǎn)．
（1）填空：b=4；
（2）連結(jié)ME．當(dāng)∠MEF=30°時(shí)，請(qǐng)求出t的值；
（3）當(dāng)t=3時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MC⊥x軸于C點(diǎn)，交AB于點(diǎn)N，連接ON．點(diǎn)Q為線段BN上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QR∥MN交ON于點(diǎn)R，連接MQ、BR．當(dāng)∠MQR-∠BRN=45°時(shí)，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線y=-x+b，即可求出b的值是多少．
（2）首先把b的值代入拋物線y=-x²+bx，求出拋物線的解析式，進(jìn)一步得到頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；然后根據(jù)∠MEF=30°，可得EG=$\sqrt{3}$MG，再分類討論，求出t的值是多少即可．
（3）首先作NH⊥QR于點(diǎn)H，MP∥OB交AB于點(diǎn)P，分別求出NC、OC的值各是多少，然后設(shè)HR=p，則HN=3p，RN=$\sqrt{10}$p，QN=3$\sqrt{2}$p，再根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出△PMQ∽△NBR，即可推得$\frac{PQ}{NR}=\frac{PM}{NB}$，據(jù)此求出p的值，以及點(diǎn)R的坐標(biāo)是多少即可．

解答 解：（1）∵直線y=-x+b過(guò)點(diǎn)A（4，0），
∴-4+b=0，
解得b=4．

（2）①如圖1，作MG⊥EF于點(diǎn)G，
，
∵b=4，
∴y=-x²+4x，
∵y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴頂點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，4），
∵∠MEF=30°，
∴EG=$\sqrt{3}$MG，
∴4-（-t²+4t）=$\sqrt{3}$（2-t），
整理，可得
t²-（4$-\sqrt{3}$）t+4-2$\sqrt{3}$=0
解得t=2-$\sqrt{3}$或t=2（舍去）．

②如圖2，作MG⊥EF于點(diǎn)G，
，
∵b=4，
∴y=-x²+4x，
∵y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴頂點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，4），
∵∠MEF=30°，
∴EG=$\sqrt{3}$MG，
∴4-（-t²+4t）=$\sqrt{3}$（t-2），
整理，可得
t²-（4+$\sqrt{3}$）t+4+2$\sqrt{3}$=0，
解得t=2+$\sqrt{3}$或t=2（舍去）．
綜上，可得
當(dāng)∠MEF=30°時(shí)，t=2-$\sqrt{3}$或t=2+$\sqrt{3}$．

（3）如圖3，作NH⊥QR于點(diǎn)H，MP∥OB交AB于點(diǎn)P，
，
∵t=3，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（3，3），點(diǎn)N的坐標(biāo)是（3，1），
∴NC=1，OC=3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={-x}^{2}+4x}\\{y=-x+4}\end{array}\right.$
可得x=4或x=1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，3），
∴OB=$\sqrt{{1}^{2}{+3}^{2}}=\sqrt{10}$，
∵QR∥MN，
∴∠MNH=∠RHN=90°，
∴∠RQN=∠QNM=45°，
∴∠MNH=∠NCO，
∴NH∥OC，
∴∠HNR=∠NOC，
∴tan∠HNR=tan∠NOC，
即$\frac{HR}{HN}=\frac{NC}{OC}=\frac{1}{3}$，
設(shè)HR=p，則HN=3p，RN=$\sqrt{10}$p，QN=3$\sqrt{2}$p，
∴PQ=QN-PN=3$\sqrt{2}$p-$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵ON=$\sqrt{{NC}^{2}{+OC}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}{+3}^{2}}=\sqrt{10}$，OB=$\sqrt{10}$，
∴ON=OB，
∴∠OBN=∠BNO，
∵M(jìn)P∥OB，
∴∠OBN=∠MPB，
∴∠MPB=∠BNO，
∵∠MQR-∠BRN=45°，∠MQR=∠MQN+45°，
∴∠MQN=∠BRN，
在△PMQ和△NBR中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPQ=∠BNR}\\{∠MQP=∠BRN}\end{array}\right.$
∴△PMQ∽△NBR，
∴$\frac{PQ}{NR}=\frac{PM}{NB}$，
∴$\frac{3\sqrt{2}p-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{10}p}=\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{2\sqrt{2}}$
解得p=$\frac{2}{7}$，
∴點(diǎn)R的坐標(biāo)是（$\frac{15}{7}，\frac{5}{7}$）．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了二次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問(wèn)題的能力．
（2）此題還考查了相似三角形判定的方法和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握．
（3）此題還考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式的方法，要熟練掌握．