Question

5．如圖，已知：A（-2，-3），C（0，-1），B點與A點關于C點中心對稱，拋物線y=ax²+bx+c過A、B兩點且對稱軸為x=-1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在直線AB下方的拋物線上求一點P，使△ABP的面積最大，求出P點的坐標和△ABP面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意求出B坐標，再由對稱軸方程，求出a，b，c的值，即可確定出解析式；
（2）過P作PQ⊥x軸，交AB于點Q，設P坐標為（m，$\frac{1}{2}$m²+m-4），表示出Q（m，m-1），進而表示出PQ，三角形ABP面積=三角形APQ面積+三角形BPQ面積，列出二次函數解析式，利用二次函數性質求出面積最大值，以及此時P的坐標即可．

解答 解：（1）∵A、B關于C中心對稱，A（-2，-3），C（0，-1），
∴B（2，1），
由拋物線對稱軸為x=-1，得到$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=-1}\\{4a-2b+c=-3}\\{4a+2b+c=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
則拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²+x-3；
（2）過P作PQ⊥x軸，交AB于點Q，AF⊥PQ，BE⊥PQ，
設P坐標為（m，$\frac{1}{2}$m²+m-4），則Q（m，m-1），
∴PQ=m-1-$\frac{1}{2}$m²-m+4=-$\frac{1}{2}$m²+3，
∴S_△ABP=S_△APQ+S_△BPQ=$\frac{1}{2}$PQ•AF+$\frac{1}{2}$PQ•BE=$\frac{1}{2}$PQ•（AF+BE）=$\frac{1}{2}$•（-$\frac{1}{2}$m²+3）•（2+2）=-m²+6，
∵a=-1＜0，
∴S_△ABP有最大值，當m=3時，S_△ABP最大值為6，此時P坐標為（3，$\frac{7}{2}$）．

點評 此題考查了待定系數法求二次函數解析式，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．