Question

10．已知AB∥CD，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，且AB=CD=BE，AE、DC的延長線交于點(diǎn)F，連BD．
（1）如圖1，求證：CE=CF；
（2）如圖2，若∠ABC=90°，G是EF的中點(diǎn)，求∠BDG的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）證∠CEF=∠CFE即可，由BE=AB，加上AB∥/CD，結(jié)論是顯然的；
（2）連接BG，CG，可證△BCG≌△DFG，從而得出△BGD是等腰直角三角形；

解答 解：（1）∵AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠CFE，
∴∠CFE=∠AEB，
∵∠AEB=∠CEF，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF；
（2）如圖2，連接AD，CG、BG，

∵AB∥CD，AB=CD，∠ABC=90°，
∴ABCD是矩形，
∵AB=BE，
∴∠BAE=45°，
∴∠FAD=45°，
∴△AFD、△ECF都是等腰直角三角形，
∴DF=AD=BC，
∵G是EF中點(diǎn)，
∴CG=FG，∠BCG=∠DFG=45°，
在△BCG和△DFG中，$\left\{\begin{array}{l}{CG=FG}\\{∠BCG=∠DFG}\\{BC=DF}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DFG（SAS），
∴∠GBC=∠FDG，BG=DG
∵∠DCB=90°，
∴∠BGD=90°，
∴△BGD是等腰直角三角形，
∴∠BDG=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度中等．第（1）問證明兩條線段相等，而兩條線段在同一個(gè)三角形當(dāng)中，則轉(zhuǎn)化為證角相等，這是常用的處理手段和證明技巧；第（2）問的關(guān)鍵在于巧妙地構(gòu)造全等．