Question

12．如圖，在長方形ABCD中，把∠B、∠D分別翻折，使點(diǎn)B、D分別落在線段AC上的點(diǎn)E、F處，折痕分別為CM、AN．
（1）求證：DN=MB；
（2）如果AB=4、BC=3時，求線段MN的長度；
（3）在（2）的條件下，求△NEM的面積．

Answer 1

分析 （1）欲證明DN=BM，只需推知△ADN≌△CBM即可．
（2）如圖2中，作NH⊥AB于H．設(shè)DN=NF=x，則CN=4-x，CF=2，在Rt△NFC中，由CN²=CF²+NF²，列出方程求出x，在Rt△MNH中，求出NH、MH，根據(jù)MN=$\sqrt{H{N}^{2}+H{M}^{2}}$
計(jì)算即可．
（3）如圖3中，連接EN，F(xiàn)M，首先證明四邊形MENF是平行四邊形，根據(jù)S_△MNE=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形MENF}=S_△EFN=$\frac{1}{2}$•EF•NF計(jì)算即可．

解答 （1）證明：如圖1，由折疊的性質(zhì)得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，

∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠DAN=∠BCM，
在Rt△ADN和Rt△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠B=90°}\\{AD=BC}\\{∠DAM=∠BCM}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△CBM（ASA），
∴DN=BM；

（2）如圖2中，作NH⊥AB于H．

在Rt△ADC中，∵∠D=90°，AD=BC=3，CD=AB=4，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
由折疊的性質(zhì)得出可知，AD=AF=3，DN=NF，設(shè)DN=NF=x，則CN=4-x，CF=2，
在Rt△NFC中，∵CN²=CF²+NF²，
∴（4-x）²=x²+2²，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴DN=NF=$\frac{3}{2}$，
∵∠D=∠DAH=∠AHN=90°，
∴四邊形ADNH是矩形，
∴NH=AD=3，AH=DN=$\frac{3}{2}$，HM=AM-AH=4-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$=1，
在Rt△MNH中，MN=$\sqrt{H{N}^{2}+H{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

（3）如圖3中，連接EN，F(xiàn)M．

∵NF⊥AC，EM⊥AC，DN=NF=BM=EM，
∴NF∥EM，NF=EM，
∴四邊形MENF是平行四邊形，
∴S_△MNE=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形MENF}=S_△EFN=$\frac{1}{2}$•EF•NF=$\frac{1}{2}$×（6-5）×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查翻折變換的知識點(diǎn)，還涉及平行四邊形的證明，解答（3）問的關(guān)鍵是證明四邊形MENF是平行四邊形，要熟練掌握此類試題的解答，此類題經(jīng)常出現(xiàn)中考試卷中，請同學(xué)們關(guān)注．