Question

16．觀察下列等式：
第1個(gè)等式：a₁=$\frac{1}{1×4}$=$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{4}$）；
第2個(gè)等式：a₂=$\frac{1}{4×7}$=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$）；
第3個(gè)等式：a₃=$\frac{1}{7×10}$=$\frac{1}{3}×$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$）；
第4個(gè)等式：a₄=$\frac{1}{10×13}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{13}$）；
…
請(qǐng)解答下列問題：
（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：a₅=$\frac{1}{13×16}$=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{13}$-$\frac{1}{16}$）；
（2）用含n（n為正整數(shù)）的式子表示第n個(gè)等式：a_n=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$）．
（3）求a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₀₀的值；
（4）直接寫出答案：a_p+a_p+1+a_p+2+…+a_p+q=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3（p-1）+1}$-$\frac{1}{3（p+q）+1}$），p，q均為正整數(shù)．

Answer 1

分析 （1）（2）分子是1，分母是相差3的兩個(gè)自然數(shù)的乘積，等于分子是1，分母是這兩個(gè)自然數(shù)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)差的$\frac{1}{3}$，由此規(guī)律解決問題；
（3）利用得出的規(guī)律拆分計(jì)算即可；
（4）把問題轉(zhuǎn)化為a_p+a_p+1+a_p+2+…+a_p+q=（a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_p+a_p+1+a_p+2+…+a_p+q）-（a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_p-1）得出答案即可．

解答 解：（1）a₅=$\frac{1}{13×16}$=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{13}$-$\frac{1}{16}$）；
（2）用含n（n為正整數(shù)）的式子表示第n個(gè)等式：a_n=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$）．
（3）a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₀₀
=$\frac{1}{1×4}$+$\frac{1}{4×7}$+$\frac{1}{7×10}$+…+$\frac{1}{298×301}$
=$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{298}$-$\frac{1}{301}$）
=$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{301}$）
=$\frac{100}{301}$；
（4）a_p+a_p+1+a_p+2+…+a_p+q
=（a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_p+a_p+1+a_p+2+…+a_p+q）-（a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_p-1）
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3（p+q）+1}$）-$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3（p-1）+1}$）
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3（p-1）+1}$-$\frac{1}{3（p+q）+1}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的聯(lián)系，得出運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．