Question

已知：正方形ABCD的邊長為4，點E為BC的中點，點P為AB上一動點，沿PE翻折△BPE得到△FPE，直線PF交CD邊于點Q，交直線AD于點G，聯(lián)接EQ．

（1）如圖，當BP=1.5時，求CQ的長；
（2）如圖，當點G在射線AD上時，BP=x，DG=y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）延長EF交直線AD于點H，若△CQE與△FHG相似，求BP的長．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）首先確定∠PEQ=90°，即PE⊥EQ，然后利用△PBE∽△ECQ，列出比例式求出CD的長度；
（2）根據(jù)△PBE∽△ECQ，求出DQ的表達式；由QD∥AP，列出比例式求解；
（3）本問分兩種情形，需要分類討論，避免漏解．

解答：解：（1）由翻折性質，可知PE為∠BPQ的角平分線，且BE=FE．
∵點E為BC中點，
∴EC=EB=EF，
∴QE為∠CQP的角平分線．
∵AB∥CD，
∴∠BPQ+∠CQP=180°，即2∠EPQ+2∠EQP=180°，
∴∠EPQ+∠EQP=90°，
∴∠PEQ=90°，即PE⊥EQ．
易證△PBE∽△ECQ，
∴

BP

EC

=

BE

CQ

，即

1.5

2

=

2

CQ

，
解得：CQ=

8

3

．

（2）由（1）知△PBE∽△ECQ，
∴

BP

EC

=

BE

CQ

，即

x

2

=

2

CQ

，
∴CQ=

4

x

，∴DQ=4-

4

x

．
∵QD∥AP，∴

DG

AG

=

DQ

AP

，又AP=4-x，AG=4+y，
∴

y

4+y

=

4- 4 x

4-x

，
∴y=

16x-16

4-x2

（1＜x＜2）．

（3）由題意知：∠C=90°=∠GFH．
①當點G在線段AD的延長線上時，如答圖1所示．
由題意知：∠G=∠CQE
∵∠CQE=∠FQE，
∴∠DQG=∠FQC=2∠CQE=2∠G．
∵∠DQG+∠G=90°，
∴∠G=30°，
∴∠BEP=∠CQE=∠G=30°，
∴BP=BE•tan30°=

2

3

3

；

②當點G在線段DA的延長線上時，如答圖2所示．
由題意知：∠FHG=∠CQE．
同理可得：∠G=30°，
∴∠BPE=∠G=30°，
∴∠BEP=60°，
∴BP=BE•tan60°=2

3

．
綜上所述，BP的長為

2

3

3

或2

3

．

點評：本題是幾何綜合題型，主要考查了相似三角形、正方形、解直角三角形、角平分線等幾何知識點．難點在于第（3）問，有兩種情形，不要漏解．