Question

2．如圖，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點(diǎn)P是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，把△PAB沿著AP翻折到△PB′C（點(diǎn)B′在矩形的內(nèi)部），連接B′C，B′D．點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若存在唯一的位置使得△B′CD為直角三角形，則a，b之間的數(shù)量關(guān)系是b=$\sqrt{2}$a．

Answer 1

分析 如圖，以CD為直徑作⊙O，當(dāng)點(diǎn)A到⊙O的最小距離等于AB時(shí)，使得△B′CD為直角三角形且唯一，在Rt△ADC中，根據(jù)AD²+OD²=OA²，可得b²+（$\frac{1}{2}a$）²=（a+$\frac{1}{2}$a）²，即可推出b=$\sqrt{2}$a．

解答 解：如圖，以CD為直徑作⊙O，當(dāng)點(diǎn)A到⊙O的最小距離等于AB時(shí)，使得△B′CD為直角三角形且唯一，
在Rt△ADC中，∵AD²+OD²=OA²，
∴b²+（$\frac{1}{2}a$）²=（a+$\frac{1}{2}$a）²，
整理得b²=2a²，
∵a＞0，b＞0，
∴b=$\sqrt{2}$a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用輔助圓，尋找滿足條件的圖形，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．