Question

4．如圖，y=-x²+（m-2）x+3（m+1），
（1）如圖，是二次函數(shù)圖象，P為頂點，求m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，m為何值時，△ABP為等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線位置，由對稱軸在y軸左側(cè)得-$\frac{m-2}{2×（-1）}$＜0，由拋物線與y軸的交點在x軸上方得3（m+1）＞0，然后求出兩不等式的公共部分即可得到m的取值范圍；
（2）作PH⊥AB于H，如圖，利用拋物線的對稱性得到△PAB為等腰三角形，則當∠PAB=60°時，△ABP為等邊三角形，所以PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，利用拋物線與x軸的交點問題得到A（-3，0），B（m+1，0），則AB=m+4，再利用頂點坐標公式得到頂點P的縱坐標為$\frac{{m}^{2}+8m+16}{4}$，則$\frac{{m}^{2}+8m+16}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（m+4），解此方程得m₁=-4，m₂=2$\sqrt{3}$-4，然后根據(jù)m的取值范圍可確定滿足條件的m的值．

解答 解：（1）根據(jù)題意得-$\frac{m-2}{2×（-1）}$＜0且3（m+1）＞0，
解得-1＜m＜2；

（2）作PH⊥AB于H，如圖，△PAB為等腰三角形，
當∠PAB=60°時，△ABP為等邊三角形，則PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
∵y=-x²+（m-2）x+3（m+1）=-（m+3）[x-（m+1）]，
∴A（-3，0），B（m+1，0），
∴AB=m+1+3=m+4，
而頂點P的縱坐標為$\frac{4×（-1）×3（m+1）-（m-2）^{2}}{4×（-1）}$=$\frac{{m}^{2}+8m+16}{4}$，
∴$\frac{{m}^{2}+8m+16}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（m+4），
整理得（m+4）²-2$\sqrt{3}$（m+4）=0，解得m₁=-4，m₂=2$\sqrt{3}$-4，
而-1＜m＜2，
∴m=2$\sqrt{3}$-4，
即在（1）的條件下，m為2$\sqrt{3}$-4時，△ABP為等邊三角形．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：從二次函數(shù)的交點式y(tǒng)=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x₁，0），（x₂，0）．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．