Question

19．如圖，在菱形ABCD中，∠D=60°，點(diǎn)E、F在菱形ABCD內(nèi)部，△AEF為等邊三角形．
（1）求證：BE=CF；
（2）若AE=6，BE=10，CE=8，求∠AEC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）首先證明△ACD為等邊三角形，從而得到AC=AB，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證明∠FAC=∠EAB，最后證明△CFA≌△BEA，從而可證得：BE=CF；
（2）首先利用勾股定理的逆定理證明△CEF為直角三角形，然后即可求得∠AEC的度數(shù)．

解答 證明：（1）連接AC．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴DC=DA=AB=BC，∠DAC=∠CAB．
∵DC=DA，∠D=60°．
∴△DAC為等邊三角形．
∴AC=AD，∠DAC=∠CAB=60°
∴AC=AB．
∵△EFA為等邊三角形，
∴∠FAE=60°，F(xiàn)A=EA．
∴∠FAE-∠EAC=∠CAB-∠EAC，即∠FAC=∠EAB．
在△CFA和△BEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠FAC=∠EAB}\\{FA=EA}\end{array}\right.$，
∴△CFA≌△BEA．
∴BE=CF．
（2）∵BE=CF，
∴CF=10．
∵CF=10，EF=AE=6，CE=8．
∴CF²=EF²+CE²．
∴∠CEF=90°．
∵△EFA為等邊三角形，
∴∠FEA=60°．
∴∠AEC=90°+60°=150°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是勾股定理的逆定理、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定，證得△CFA≌△BEA是解題的關(guān)鍵．