Question

11．已知拋物線y=ax²-x+c過(guò)點(diǎn)A（-6，0），對(duì)稱軸是直線x=-2，與y軸交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)為D．
（1）求此拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）連DO，求證：∠AOD=∠ABO；
（3）點(diǎn)P在y軸上，且△ADP與△AOB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將對(duì)稱軸是直線x=-2，以及點(diǎn)A（-6，0），代入解析式求出即可；
（2）過(guò)D作DH⊥x軸，利用D（-2，4），得出在Rt△DHO中tan∠AOD=2，進(jìn)而得出∠AOD=∠ABO；
（3）分別根據(jù)情況1：若∠DAP=90°，情況2：若∠ADP=90°，情況3：若∠APD=90°，分析得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²-x+c過(guò)點(diǎn)A（-6，0），對(duì)稱軸為x=-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{36a+6+c=0}\\{-\frac{-1}{2a}=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的表達(dá)式為y=-$\frac{1}{4}$x²-x+3，
頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（-2，4）；

（2）過(guò)D作DH⊥x軸，
∵D（-2，4），
∴在Rt△DHO中tan∠AOD=2，
又∵B（0，3），A（-6，0），
∴在Rt△ABO中tan∠ABO=2，
∴∠AOD=∠ABO；
             
（3）∵△ADP與△AOB相似，而△AOB為直角三角形，
∴△ADP也為直角三角形，
∴情況1：若∠DAP=90°，
∵D（-2，4），A（-6，0），
∴∠DAO=45°，∴∠OAP=45°，
∴P（0，-6）
但此時(shí)AD=4$\sqrt{2}$，AP=6$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AD}{AP}$=$\frac{2}{3}$，
又$\frac{OB}{AO}$=$\frac{1}{2}$，
∴△ADP與△AOB不相似，
∴此時(shí)點(diǎn)P不存在．           
情況2：若∠ADP=90°，
∵D（-2，4），A（-6，0），
∴∠ADH=45°，∴∠HDP=45°，
∴P（0，2）
此時(shí)，$\frac{DP}{AD}$=$\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{OB}{AO}$=$\frac{1}{2}$，且∠ADP=∠AOB，
∴△ADP與△AOB相似，
即當(dāng)P（0，2）時(shí)，使得△ADP與△AOB相似．
情況3：若∠APD=90°，設(shè)P（0，t），
則AP²+PD²=AD²，
即36+t²+4+（t-4）²=32，得t²-4t+12=0，
∵△＜0，
∴無(wú)解，
∴點(diǎn)P不存在．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的性質(zhì)與判定，以及分類討論思想的應(yīng)用，根據(jù)△ADP不同角為90度分別分析求解是解題關(guān)鍵．