Question

17．已知拋物線y₁=ax²+2x+c與直線y₂=kx+b交于點(diǎn)A（-1，0），B（2，3）．
（1）求a、b、c的值；
（2）直接寫出當(dāng)y₁＜y₂時(shí)，自變量的范圍是x＜-1或x＞2；
（3）已知點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求得；
（2）判斷拋物線的開口，根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)即可求得；
（3）先利用配方法求出拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)對稱軸與直線y₂=x+1交于點(diǎn)M，求出M（1，2），那么CM=4-2=2，再根據(jù)S_△ABC=S_△AMC+S_△MBC，即可求解．

解答 解：（1）∵拋物線y₁=ax²+2x+c與直線y₂=kx+b交于點(diǎn)A（-1，0）、B（2，3）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2+c=0}\\{4a+4+c=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴a=-1，b=1，c=3；

（2）∵y₁=-x²+2x+3，a=-1＜0，y₂=x+1，
∴拋物線的開口向下，
∴x＜-1或x＞2時(shí)，拋物線上的部分在直線的下方，
∴當(dāng)y₁＜y₂時(shí)，自變量的范圍是x＜-1或x＞2． 
故答案為 x＜-1或x＞2；
  
（3）∵y₁=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4）．
設(shè)對稱軸與直線y₂=x+1交于點(diǎn)M，
∵當(dāng)x=1時(shí)，y=1+1=2，
∴M（1，2），
∴CM=4-2=2，
∵A（-1，0），B（2，3），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×（2+1）=3．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式和直線的解析式，二次函數(shù)與不等式，三角形的面積，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．