Question

9．如圖，矩形ABCD沿AE折疊，使D落在邊BC上的F點(diǎn)處，若AB=8，BC=10以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)BC為x軸，AB為y軸，建立直角坐標(biāo)系．
（1）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（10，3）；
（2）折痕與DF交點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，4）；
（3）若延長AE與x軸交于點(diǎn)P，△AFP的形狀等腰三角形三角形（按邊分類），則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（16，0）；
（4）則折痕AE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+8；
（5）若題干改為點(diǎn)E在直線DC上，點(diǎn)F在直線BC上，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-6，0）或（6，0），折痕AE的解析式為y=-2x+8或y=-$\frac{1}{2}$x+8．

Answer 1

分析 （1）由△AEF是由△ADE翻折得到，所以AD=AF=10，EF=ED，設(shè)DE=EF=x，在Rt△ABF中，BF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，在Rt△EFC中，由EF²=EC²+CF²列出方程即可解決問題．
（2）求出直線AE、DF的解析式，解方程組即可．
（3）只要證明△AFP是等腰三角形即可解決問題．
（4）利用待定系數(shù)法即可解決．
（5）分兩種情形考慮即可①見圖1，②見圖2．

解答 解：（1）如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=8，BC=0D=10，∠D=∠BCD=∠ABC=90°，
∵△AEF是由△ADE翻折得到，
∴AD=AF=10，EF=ED，設(shè)DE=EF=x，
在Rt△ABF中，BF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵CF=BC-BF=4，
在Rt△EFC中，∵EF²=EC²+CF²，
∴x²=（8-x）²+4^2，
∴x=5，
∴DE=EF=5，EC=3，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)（10，3）．
故答案為（10，3）．

（2）如圖1中，∵A（0，8），E（10，3），
∴直線AE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+8，
∵F（6，0），D（10，8），
∴直線DF的解析式為y=2x-12，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+8}\\{y=2x-12}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴折痕與DF交點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，4），
故答案為（8，4）．

（3）如圖1中，∵AD∥PC，
∴∠DAP=∠APF=∠FAP，
∴FA=FP=10，
∴OP=OF+FP=16，△AFP是等腰三角形．
點(diǎn)P坐標(biāo)為（16，0）．
故答案分別為等腰三角形，（16，0）．

（4）設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，把A（0，8），E（10，3）代入得到$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{10k+b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線AE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+8．
故答案為y=-$\frac{1}{2}$x+8，

（5）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)E在DC的延長線上時(shí)，
∵△AEF是由△ADE翻折得到，
∴AF=AD=10，EF=DE，設(shè)EF=ED=x，
在Rt△AFO中，OF=$\sqrt{A{F}^{2}-O{A}^{2}}$=6，
∴CF=16，F(xiàn)（-6，0），
在Rt△ECF中，∵EF²=CF²+CE²，
∴x²=16²+（x-8）²，
∴x=20，
∴CE=12，E（10，-12），
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b則有$\left\{\begin{array}{l}{b=8}\\{10k+b=-12}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線AE的解析式為y=-2x+8．
綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-6，0）或（6，0），直線AE的解析式為y=-2x+8或y=-$\frac{1}{2}$x+8．
故答案為（-6，0）或（6，0），y=-2x+8或y=-$\frac{1}{2}$x+8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、一次函數(shù)、勾股定理、翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．