Question

5．如圖①、圖②、圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x-1）²+2-a與拋物線y=（a-2）（x-1）²+a分別與y軸交于點(diǎn)A、B，與對稱軸x=1交于點(diǎn)C、D．作點(diǎn)A關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)A′，連接AA′，以AB、AA′為邊作矩形ABEA′．設(shè)△ACD與矩形ABEA′重疊部分圖形的面積為S．
（1）用含a的代數(shù)式表示線段CD的長．
（2）求AB=2AA′時(shí)的a值．
（3）當(dāng)△ACD與矩形ABEA′重疊部分圖形為三角形時(shí)，求S與a的函數(shù)關(guān)系式．
（4）作點(diǎn)D關(guān)于直線AA′的對稱點(diǎn)D′，連接AD、A′D、A′D′、AD′，得到四邊形ADA′D′．直接寫出四邊形ADA′D′與矩形ABEA′同時(shí)是正方形時(shí)的a值．

Answer 1

分析 （1）由題意C（1，2-a），D（1，a），可得CD=|2-a-a|=|2-2a|=$\left\{\begin{array}{l}{2-2a}&{（a≤1）}\\{2a-1}&{（a＞1）}\end{array}\right.$；
（2）分兩種情形①當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B上方時(shí)，AB=4-2a，AA′=2．②當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B下方時(shí)，AB=2a-4，AA′=2，分別列出方程即可解決問題；
（3）分四種情形①如圖1中，當(dāng)a＜0時(shí)，重疊部分是△ADH．②如圖2中，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，重疊部分是△ACD．③如圖3中，當(dāng)點(diǎn)C在線段BE上時(shí)，2a-2=2-a，解得a=$\frac{4}{3}$，當(dāng)1＜a≤$\frac{4}{3}$時(shí)，重疊部分是△ADC．④如圖4中，當(dāng)a＞2時(shí)，重疊部分是△ADH，分別求解即可；
（4）分兩種情形點(diǎn)B在點(diǎn)A下方時(shí)，點(diǎn)B在點(diǎn)A上方時(shí)，分別求解即可；

解答 解：（1）由題意C（1，2-a），D（1，a），
∴CD=|2-a-a|=|2-2a|=$\left\{\begin{array}{l}{2-2a}&{（a≤1）}\\{2a-1}&{（a＞1）}\end{array}\right.$．

（2）由題意A（0，2），B（0，2a-2），
①當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B上方時(shí)，AB=4-2a，AA′=2，
∴4-2a=4，
∴a=0（不合題意舍棄），
②當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B下方時(shí)，AB=2a-4，AA′=2，
∴2a-4=4，
∴a=4，
∴AB=2AA′時(shí)的a值為4．

（3）①如圖1中，當(dāng)a＜0時(shí)，重疊部分是△ADH，S=$\frac{1}{2}$•DH•AH=$\frac{1}{2}$•（2-a）=1-$\frac{1}{2}$a．

②如圖2中，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，重疊部分是△ACD，S=$\frac{1}{2}$•CD•AH=$\frac{1}{2}$（2-2a）=1-a．

③如圖3中，當(dāng)點(diǎn)C在線段BE上時(shí)，2a-2=2-a，解得a=$\frac{4}{3}$，
∴當(dāng)1＜a≤$\frac{4}{3}$時(shí)，重疊部分是△ADC，S=$\frac{1}{2}$•CD•AH=$\frac{1}{2}$（2a-2）=a-1．

④如圖4中，當(dāng)a＞2時(shí)，重疊部分是△ADH，S=$\frac{1}{2}$•DH•AH=$\frac{1}{2}$（a-2）=$\frac{1}{2}$a-1．


（4）①如圖5中，當(dāng)點(diǎn)B與原點(diǎn)重合時(shí)，2a-2=0，即a=1時(shí)，滿足條件．

②如圖6中，當(dāng)AB=2，即2a-2=4，解得a=3時(shí)，滿足條件．

綜上所述，四邊形ADA′D′與矩形ABEA′同時(shí)是正方形時(shí)的a值為1或3．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、三角形的面積、正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論是思想思考問題，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．