Question

8．如圖，PA、PB是⊙O的切線，CD切⊙O于E，PA=6，∠APB=60°．求：
（1）△PDC的周長(zhǎng)；
（2）⊙O的半徑；
（3）∠COD的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)切線長(zhǎng)定理將相等的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得出三角形PDE的周長(zhǎng)等于PA+PB即可得出答案；
（2）根據(jù)切線長(zhǎng)定理得出∠OPA=30°，可知OP=2OA，再利用勾股定理求出圓的半徑；
（3）根據(jù)切線的性質(zhì)和∠APB=60°，可知∠AOB=120°，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理可知OC、OD分別平分∠AOE、∠BOE，于是∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°．

解答 解：（1）∵CA，CE都是圓O的切線，
∴CA=CE，
同理DE=DB，PA=PB，
∴△PDC的周長(zhǎng)=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12；
（2）連接OA，OP，則OA⊥PA，
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴∠APO=$\frac{1}{2}$∠APB=30°，
∴在Rt△AOP中，PO=2AO，
故OA²+6²=（2AO）²，
解得：OA=2$\sqrt{3}$，
∴⊙O的半徑為2$\sqrt{3}$；
（3）∵PA、PB是⊙O的切線，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠APB=60°，
∴∠AOB=120°，
根據(jù)切線長(zhǎng)定理可知OC、OD分別平分∠ACE、∠BDE，
∴OC、OD分別平分∠AOE、∠BOE，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線長(zhǎng)定理，運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．