Question

3．在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（a，b）（|a|≠|(zhì)b|），設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為Q，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為R，若△PQR的三個(gè)內(nèi)角中有兩個(gè)角之和為150°，設(shè)△PQR的最長(zhǎng)邊為c，最短邊為b，另外一條邊為a，求證：a²=b（b+c）．

Answer 1

分析 連結(jié)OQ．先由題意得出OP=OQ=OR，易證∠PQR=∠P+∠Q=90°，由△PQR的三個(gè)內(nèi)角中有兩個(gè)角之和為150°，得出此三角形中有一個(gè)角為60°，則最小角是30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理得出c=2b，a=$\sqrt{3}$b，即可證明a²=b（b+c）．

解答 證明：如圖，連結(jié)OQ．
∵點(diǎn)P關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為Q，
∴OP=OQ，
∴∠P=∠OQP，
∵點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為R，
∴OP=OR，
∴OQ=OR，
∴∠R=∠OQR，
∴∠P+∠Q=∠OQP+∠OQR=∠PQR，
∵∠P+∠Q+∠PQR=180°，
∴∠PQR=∠P+∠Q=90°，
∵△PQR的三個(gè)內(nèi)角中有兩個(gè)角之和為150°，不妨設(shè)∠PQR+∠P=150°，
∴∠P=60°，
∴∠R=30°，
∴c=2b，a=$\sqrt{3}$b，
∴a²=3b²，b（b+c）=b（b+2b）=3b²，
∴a²=b（b+c）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，證明△PQR是直角三角形是解題的關(guān)鍵．