Question

如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點，且OD∥BC，OD與AC交于點E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度數(shù)；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的長．

Answer 1

考點：圓周角定理,平行線的性質,三角形中位線定理

專題：幾何圖形問題

分析：（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=90°，則∠CAB的度數(shù)即可求得，在等腰△AOD中，根據(jù)等邊對等角求得∠DAO的度數(shù)，則∠CAD即可求得；
（2）易證OE是△ABC的中位線，利用中位線定理求得OE的長，則DE即可求得．

解答：解：（1）∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，
∠CAB=90°-∠B=90°-70°=20°，∠AOD=∠B=70°．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO=

180°-∠AOD

2

=

180°-70°

2

=55°
∴∠CAD=∠DAO-∠CAB=55°-20°=35°；

（2）在直角△ABC中，BC=

AB2-AC2

=

42-32

=

7

．
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
又∵OA=OB，
∴OE=

1

2

BC=

7

2

．
又∵OD=

1

2

AB=2，
∴DE=OD-OE=2-

7

2

．

點評：本題考查了圓周角定理以及三角形的中位線定理，正確證明OE是△ABC的中位線是關鍵．