Question

7．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線y=2x+4交X軸于點A，交y軸于點B，四邊形ABCO是平行四邊形，直線y=-x+m經(jīng)過點C，交x軸于點D．
（1）求m的值；
（2）點P（0，t）是線段OB上的一個動點（點P不與0，B兩點重合），過點P作x軸的平行線，分別交AB，OC，DC于點E，F(xiàn)，G，設(shè)線段EG的長為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先求得A和B的坐標，過C作CK⊥x軸于K，則四邊形BOKC是矩形，求得C的坐標，即可求得CK的長，即OB的長，從而求得m的值；
（2）延長DC交y軸于點N，分別過點E、G作x軸的垂線，垂足為R和Q．則四邊形ERQG、四邊形POQG、四邊形EROP都是矩形，根據(jù)△ARE∽△AOB，即可求得AR的值，則函數(shù)解析式即可求解．

解答 解：（1）∵當x=0時，y=4，
∴點B的坐標是（0，4），OB=4，
由2x+4=0，解得x=-2，
∴A的坐標是（-2，0），OA=2，
∵四邊形ABCO是平行四邊形，過C作CK⊥x軸于K．
則四邊形BOKC是矩形，
∴OK=BC=2，CK=OB=4，
∴點C的坐標是（2，4）．
∴4=-2+m，
∴m=6；
（2）延長DC交y軸于點N，分別過點E、G作x軸的垂線，垂足為R和Q．
則四邊形ERQG、四邊形POQG、四邊形EROP都是矩形，
∴ER=PO=GQ=t，
∵△ARE∽△AOB，
∴$\frac{ER}{AR}=\frac{OB}{OA}$，
∴$\frac{t}{AR}=\frac{4}{2}$，
∴AR=$\frac{1}{2}$t，
∵OD=ON=6，
∴∠ODN=45°，
∴DQ=GQ=t，
又AD=AO+OD=8，
∴EG=RQ=8-$\frac{1}{2}$t-t=8-$\frac{3}{2}$t，
∴d=-$\frac{3}{2}$t+8（0＜t＜4）．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，利用t表示出AR是關(guān)鍵．