Question

17．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，3），且當(dāng)x=1時(shí)，y有最小值2．
（1）求a，b，c的值；
（2）設(shè)二次函數(shù)y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）（k為實(shí)數(shù)），它的圖象的頂點(diǎn)為D．
①當(dāng)k=1時(shí)，求二次函數(shù)y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
②請?jiān)诙�次函�?shù)y=ax²+bx+c與y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）的圖象上各找出一個(gè)點(diǎn)M，N，不論k取何值，這兩個(gè)點(diǎn)始終關(guān)于x軸對稱，直接寫出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方）；
③過點(diǎn)M的一次函數(shù)y=-$\frac{3}{4}$x+t的圖象與二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象交于另一點(diǎn)P，當(dāng)k為何值時(shí)，點(diǎn)D在∠NMP的平分線上？
④當(dāng)k取-2，-1，0，1，2時(shí)，通過計(jì)算，得到對應(yīng)的拋物線y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）的頂點(diǎn)分別為（-1，-6，），（0，-5），（1，-2），（2，3），（3，10），請問：頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)是變量嗎？縱坐標(biāo)是如何隨橫坐標(biāo)的變化而變化的？

Answer 1

分析 （1）利用頂點(diǎn)式的解析式求解即可；
（2））①當(dāng)k=1時(shí)，y=-x²+4x-1，令y=0，-x²+4x-1=0，解得x的值，即可得出圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
②y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）當(dāng)經(jīng)x=-1時(shí)，y=ax²+bx+c與y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）的圖象上點(diǎn)M，N，不論k取何值，這兩個(gè)點(diǎn)始終關(guān)于x軸對稱，可得M（-1，6），N（-1，-6）；
③由y=-$\frac{3}{4}$+t，經(jīng)過（-1，6），可得t的值，由ME⊥x軸，可得E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，可得出AE，ME，MA的值．設(shè)MD交AE于點(diǎn)B，作BC⊥AM于點(diǎn)C，設(shè)BC=x，則AB=8-x，顯然△ABC∽△AMN，可求出x的值，即可得出MD的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+4．再把點(diǎn)D代入，即可求出k的值；
④觀察可得出當(dāng)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于-1時(shí)，縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)的增大而增大，當(dāng)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于-1時(shí)，縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)的增大而減�。�

解答 解：（1）設(shè)y=a（x-1）²+2，將（0，3）代入，得a=1，
∴y=（x-1）²+2，即y=x²-2x+3，
∴a=1，b=-2，c=3；
（2）①當(dāng)k=1時(shí)，y=-x²+4x-1，令y=0，-x²+4x-1=0，解得x=2±$\sqrt{3}$，即圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（2+$\sqrt{3}$，0），（2-$\sqrt{3}$，0）；
②y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）當(dāng)經(jīng)x=-1時(shí)，y=ax²+bx+c與y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）的圖象上點(diǎn)M，N，不論k取何值，這兩個(gè)點(diǎn)始終關(guān)于x軸對稱，
∴M（-1，6），N（-1，-6），
③y=-$\frac{3}{4}$x+t，經(jīng)過（-1，6），得t=$\frac{21}{4}$，
∴y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{21}{4}$，則A（7，0），
∵M(jìn)E⊥x軸，
∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，
∴AE=8，
∵M(jìn)E=6，
∴MA=10．
如圖1，設(shè)MD交AE于點(diǎn)B，作BC⊥AM于點(diǎn)C，

∵M(jìn)D平分∠NMP，ME⊥x軸，
∴BC=BE，設(shè)BC=x，則AB=8-x，顯然△ABC∽△AME，
∴$\frac{x}{8-x}$=$\frac{3}{5}$，則x=3．得點(diǎn)B（2，0），
∴MD的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+4．
∵y=ax²+bx+c與y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）=-[x-（k+1）]²+（k+1）²+2k-3．
把D（k+1，k²+2k+1+2k-3），代入y=-2x+4．得k=-3±$\sqrt{13}$，
由y=k（2x+2）-（ax²+bx+c）有意義可得k=-3+$\sqrt{13}$，
④是．
當(dāng)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于-1時(shí)，縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)的增大而增大，
當(dāng)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于-1時(shí)，縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)的增大而減�。�

點(diǎn)評 本題主要考查了二次函數(shù)，涉及二次函數(shù)的解析式的求法，一次函數(shù)的知識(shí)及相似三角形，解題的關(guān)鍵是把二次函數(shù)圖象與其它函數(shù)圖象相結(jié)合解決問題．