Question

18．已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax²+x+1（a為常數(shù)）
（1）若函數(shù)的圖象與x軸恰有一個交點，求a的值．
（2）若函數(shù)的圖象是拋物線，且圖象始終在x軸上方，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）需考慮a為0和不為0的情況，當a=0時圖象為一直線；當a≠0時圖象是一拋物線，由判別式△=b²-4ac判斷；
（2）根據(jù)題意列出不等式則可解．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+x+1，
∴a≠0，
依題意得方程ax²+x+1=0有兩等實數(shù)根．
∴△=b²-4ac=1-4a=0，
∴a=$\frac{1}{4}$．
∴當a=$\frac{1}{4}$時函數(shù)圖象與x軸恰有一個交點；
（2）∵圖象始終在x軸上方，
∴a＞0，且△＜0，
∴1-4a＜0，
∴a＞$\frac{1}{4}$
∴當a＞$\frac{1}{4}$，拋物線的圖象始終在x軸上方．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)系數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，本題解題過程中要注意①函數(shù)是二次函數(shù)；②只有一個交點，那么b²-4ac=0，③圖象在x軸上方，a＞0，且△＜0．