Question

15．已知平行四邊形ABCD的面積為1，K、L、M、N分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，由AL、AM、BN、BM、CK、CN、DK、DL圍成的八邊形EGPHFTQR，八邊形EGPHFTQR的面積為多少？

Answer 1

分析 連接AC、BD、KM、NL交于點(diǎn)O，將八邊形面積分成8塊面積相等的小三角形面積，求出一塊，再乘以8即可．

解答 解：如圖：

連接AC與BD交點(diǎn)點(diǎn)O，連接KM、NL，
由于K、L、M、N分別為平行四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)，
則A、R、O、H、C共線，B、G、O、T、D共線，K、E、O、F、M共線，N、Q、O、P、L共線，
八邊形EGPHFTQR的面積八塊小三角形面積，
易知Q為ON中點(diǎn)，
∴${S}_{△ORQ}=\frac{1}{2}{S}_{△ORN}$，
∵R是△ABD的重心，
∴$\frac{AR}{RO}=\frac{2}{1}$，
∴${S}_{△ORN}=\frac{1}{3}{S}_{△OAN}$，
∵${S}_{△OAN}=\frac{1}{8}{S}_{平行四邊形ABCD}$，
∴${S}_{△ORN}=\frac{1}{24}{S}_{平行四邊形ABCD}$，
∴${S}_{△ORQ}=\frac{1}{48}{S}_{平行四邊形ABCD}$，
同理可證剩下7個(gè)小三角形的面積也是平行四邊形面積的$\frac{1}{48}$，
∴${S}_{八邊形EGPHFTQR}=\frac{1}{48}×1×8$=$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等積變換，難度適中．對(duì)于兩個(gè)三角形：若高相等，則面積之比等于底之比；若底相同，則面積之比等于高之比；等底等高的兩個(gè)三角形面積相等．明白這些原理外加三角形重心性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．