Question

3．如圖，過(guò)點(diǎn)F（0，1）的直線y=kx+b與拋物線y=$\frac{1}{4}$x²交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）兩點(diǎn)（其中x₁＜0，x₂＞0）．
（1）求b的值；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；
（3）分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線l：y=-1的垂線，垂足分別是M₁，N₁，探究當(dāng)k=1時(shí)，△NFN₁與△M₁FN₁，各是什么特殊三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由，并猜想：這個(gè)結(jié)論對(duì)任意k的值都成立么？（直接寫出結(jié)論即可）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（0，1）即可得到b的值；
（2）聯(lián)立兩方程，求出x的值，進(jìn)而求出y的值，即可求出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線y=kx+b與拋物線y=$\frac{1}{4}$x²交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）兩點(diǎn)，分別用x₁和x₂表示出NF²和NN₁²，F(xiàn)M₁²、FN₁²和M₁N₁²，據(jù)此可以作出判斷．

解答 解：（1）∵直線y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（0，1），
∴b=1；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，直線y=x+1，
根據(jù)題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$，
即$\frac{1}{4}$x²=x+1，
解得x₁=-2$\sqrt{2}$+2，x₂=2$\sqrt{2}$+2，
當(dāng)x=-2$\sqrt{2}$+2時(shí)，y=-2$\sqrt{2}$+3，即點(diǎn)M坐標(biāo)為（-2$\sqrt{2}$+2，-2$\sqrt{2}$+3），
當(dāng)x=2$\sqrt{2}$+2時(shí)，y=2$\sqrt{2}$+3，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$+2，2$\sqrt{2}$+3）；
（3）當(dāng)k=1時(shí)，△NFN₁是等腰三角形；△M₁FN₁是直角三角形；
設(shè)直線y=kx+b與拋物線y=$\frac{1}{4}$x²交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
∴可以得出：kx+b=$\frac{1}{4}$x²，
整理得：$\frac{1}{4}$x²-kx-1=0，
∵a=$\frac{1}{4}$，c=-1，
∴x₁•x₂=-4，
△NFN₁是等腰三角形，
理由是：NF²=x₂²+（y₂-1）²=x₂²+y₂²-2y₂+1=y₂²+$\frac{1}{2}$x₂²+1，
NN₁²=（y₂+1）²=y₂²+2y₂+1=y₂²+$\frac{1}{2}$x₂²+1，
故NF²=NN₁²，
即△NFN₁是等腰三角形；
△M₁FN₁是直角三角形（F點(diǎn)是直角頂點(diǎn)）．
理由如下：設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)是F₁，
FM₁²=FF₁²+M₁F₁²=x₁²+4，
FN₁²=FF₁²+F₁N₁²=x₂²+4，
M₁N₁²=（x₁-x₂）²=x₁²+x₂²-2x₁x₂=x₁²+x₂²+8，
∴FM₁²+FN₁²=M₁N₁²，
∴△M₁FN₁是以F點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，用到的知識(shí)點(diǎn)有一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、等腰三角形的判定、直角三角形的判定以及勾股定理等知識(shí)，解答（3）問(wèn)關(guān)鍵是分別用用x₁和x₂表示出NF²和NN₁²，F(xiàn)M₁²、FN₁²和M₁N₁²，題目的綜合性不小，對(duì)學(xué)生解題能力的要求也很高．