Question

13．已知菱形ABCD的邊長為1．∠ADC=60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點E、F．
（1）如圖1，若點E、F分別是邊DC、CB的中點．求證：菱形ABCD對角線AC、BD交點O即為等邊△AEF的外心；
（2）若點E、F始終分別在邊DC、CB上移動．記等邊△AEF的外心為點P．
①如圖2．求證：△AEF的外心P落在直線BD上
②如圖3，當(dāng)AE⊥CD時，過點P任作一直線分別交邊DA于點M，交邊DC的延長線于點N，求$\frac{1}{DM}$+$\frac{1}{DN}$的值．

Answer 1

分析 （1）連接OE、0F，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證明0E=OF=OA，則點O即為△AEF的外心；
（2）①連接PE、PA，過點P分別作PI⊥CD于I，證明△PIE≌△PJA，即可證明PI=PJ，則P在∠ADC的平分線上，則一定在對角線上；
③由（1）可得點P在BD上，即為△AEF的外心，證明△NCG∽△NDM，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可證明．

解答 （1）證明：連接OE、0F（如圖①）．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD=DC=BC，
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO=$\frac{1}{2}$∠ADC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
又∵E、F分別為DC、CB中點，
∴OE=$\frac{1}{2}$CD，OF=$\frac{1}{2}$BC，OA=$\frac{1}{2}$AD，
∴0E=OF=OA，
∴點O即為△AEF的外心．

（2）①證明：如圖②，分別連接PE、PA，過點P分別作PI⊥CD于I，
PJ⊥AD于J，則∠PIE=∠PJD=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°，
∵點P是等邊△AEF的外心，
∴∠EPA=120°，
PE=PA，∴∠IPJ=∠EPA，
∴∠IPE=∠JPA，
∴在△PIE和△PJA中，
$\left\{\begin{array}{l}{PE=PA}\\{∠IPE=∠JPA}\\{∠EIP=∠AJP}\end{array}\right.$，
∴△PIE≌△PJA，
∴PI=PJ，
∴點P在∠ADC的平分線上，即點P落在直線DB上．

②解：當(dāng)AE⊥DC時，點E、F分別為DC、CB中點．連接BD、AC交于點P，
由（1）可得點P在BD上，即為△AEF的外心．
如圖③．設(shè)MN交BC于點G，
設(shè)DM=x，DN=y（x≠0．y≠O），則CN=y-1，
∵BC∥DA，
∴△GBP≌△MDP．
∴BG=DM=x．
∴CG=1-x，
∵BC∥DA，
∴△NCG∽△NDM，
∴$\frac{CN}{DN}$=$\frac{CG}{DM}$，
∴$\frac{y-1}{y}$=$\frac{1-x}{x}$，
∴x+y=2xy，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=2
即$\frac{1}{DM}$+$\frac{1}{DN}$=2．

點評 本題是菱形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．