Question

7．如圖1，在△ABC中，∠C=90°，AB=1，∠A=α，則cosα=$\frac{AC}{AB}=AC$，現(xiàn)將△ABC沿AC折疊，得到△ADC，如圖2，易知B、C、D三點(diǎn)共線，∠DAB=2α（其中0°＜α＜45°）．
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．
∵∠DCA=∠DEA=90°，∠DFC=∠AFE，
∴∠BDE=∠BAC=α，
∵BD=2BC=2sinα，
∴BE=BD•sinα=2•sinα•sinα=2sin²α，
∴AE=AB-BE=1-2sin²α，
∴cos2α=cos∠DAE=$\frac{AE}{AD}=\frac{1-2si{n}^{2}α}{1}=1-2si{n}^{2}α$．
閱讀以上內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：
（1）如圖1，若BC=$\frac{1}{3}$，則cosα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cos2α=$\frac{7}{9}$；
（2）求出sin2α的表達(dá)式（用含sinα或cosα的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，則根據(jù)正弦和余弦的定義得到cosα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sinα=BC=$\frac{1}{3}$，然后根據(jù)題中的結(jié)論cos2α=1-2sin²α進(jìn)行計(jì)算；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義，在Rt△BDE中得到cos∠BDE=$\frac{DE}{BD}$，則DE=2sinα•cosα，然后在Rt△ADE中得到sin∠DAE=$\frac{DE}{AD}$，即有sin2α=2sinα•cosα．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=1，BC=$\frac{1}{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cosα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
sinα=BC=$\frac{1}{3}$，
∴cos2α=1-2×（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{7}{9}$；
故答案為：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\frac{7}{9}$；

（2）根據(jù)題意得BD=2sinα，∠BDE=α，
在Rt△BDE中，∵cos∠BDE=$\frac{DE}{BD}$，
∴DE=BD•cosα=2sinα•cosα，
在Rt△ADE中，∵sin∠DAE=$\frac{DE}{AD}$，
∴sin2α=$\frac{2sinα•cosα}{1}$=2sinα•cosα．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．也考查了閱讀理解能力．