Question

8．如圖1，E為矩形ABCD邊AD上一點，點P從點B沿折線BE-ED-DC運動到點C時停止，點Q從點B沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度都是1cm/s．若P，Q同時開始運動，設運動時間為t（s），△BPQ的面積為y（cm²）．已知y與t的函數圖象如圖2，則下列結論：
①AE=6cm；②sin∠EBC=$\frac{4}{5}$；③當0＜t≤10時，y=$\frac{2}{5}$t²；④當t=12s時，△ABP是等腰三角形； 
其中正確的結論是（　�。�

• A． ②③④
• B． ①②③
• C． ①③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 由圖2可知，在點（10，40）至點（14，40）區(qū)間，△BPQ的面積不變，因此可推論BC=BE，由此分析動點P的運動過程如下：
（1）在BE段，BP=BQ；持續(xù)時間10s，則BE=BC=10；y是t的二次函數；
（2）在ED段，y=40是定值，持續(xù)時間4s，則ED=4；
（3）在DC段，y持續(xù)減小直至為0，y是t的一次函數．

解答 解：（1）分析函數圖象可知，BC=10cm，ED=4cm，故AE=AD-ED=BC-ED=10-4=6cm，故①正確；
（2）如答圖1所示，連接EC，過點E作EF⊥BC于點F，
由函數圖象可知，BC=BE=10cm，S_△BEC=40=$\frac{1}{2}$BC•EF=$\frac{1}{2}$×10×EF，∴EF=8，
∴sin∠EBC=$\frac{EF}{BE}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，故②正確；
（3）如答圖2所示，過點P作PG⊥BQ于點G，
∵BQ=BP=t，
∴y=S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BQ•PG=$\frac{1}{2}$BQ•BP•sin∠EBC=$\frac{1}{2}$t•t•$\frac{4}{5}$=$\frac{2}{5}$t²．
故③正確；
（4）結論D錯誤．理由如下：
當t=12s時，點Q與點C重合，點P運動到ED的中點，設為N，如答圖3所示，連接NB，NC．
此時AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=8$\sqrt{2}$，NC=2$\sqrt{17}$，
∵BC=10，
∴△BCN不是等腰三角形，即此時△PBQ不是等腰三角形．
故④錯誤；
正確的結論有：①②③．
故選：B．

點評 本題考查動點問題的函數圖象，需要結合幾何圖形與函數圖象，認真分析動點的運動過程．突破點在于正確判斷出BC=BE=10cm．