Question

5．如圖，△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)I，愛動腦筋的小明同學(xué)在寫作業(yè)時，發(fā)現(xiàn)了如下規(guī)律：
（1）若∠A=50°，則∠BIC=115°=90°+$\frac{50°}{2}$；
（2）若∠A=90°，則∠BIC=135°=90°+$\frac{90°}{2}$；
（3）若∠A=130°，則∠BIC=155°=90°+$\frac{130°}{2}$；
（4）根據(jù)上述規(guī)律，或∠A=150°，則∠BIC=165°．
（5）請你用數(shù)學(xué)表達(dá)式歸納出∠BIC與∠A的關(guān)系：∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
（6）請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （4）根據(jù)上述規(guī)律即可得到結(jié)論；
（5）根據(jù)上述規(guī)律即可得到結(jié)論；
（6）延長BI交AC于E，根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠BIC=∠IEC+∠ICE，∠IDC=∠A+∠ABD，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICE=$\frac{1}{2}$∠ACB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．

解答 解：（4）根據(jù)上述規(guī)律，∵∠A=150°，∴∠BIC=90°+$\frac{150}{2}$=165°，
故答案為：165°；
（5）∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
故答案為：∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
（6）延長BI交AC于E，
∵∠BIC是△CEI的外角，
∴∠BIC=∠IEC+∠ICE（三角形外角定理），
∵∠IEC是△ABE的外角，
∴∠IDC=∠A+∠ABD（三角形外角定理），
∵BI、CI是∠ABC、∠ACB的平分線，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICE=$\frac{1}{2}$∠ACB（角平分線定義），
∴∠BIC=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）+∠A，
=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）+∠A
=90°+$\frac{1}{2}$∠A．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)，熟記三角形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．