Question

13．已知拋物線L₁：y₁=x²+6x+5k和拋物線L₂：y₂=kx²+6kx+5k，其中k≠0．
（1）下列說法你認為正確的序號是①③④；
①拋物線L₁和L₂與y軸交于同一點F（0，5k）；
②拋物線L₁和L₂開口都向上；
③拋物線L₁和L₂的對稱軸是同一條直線；
④當k＜-1時，拋物線L₁和L₂都與x軸有兩個交點
（2）拋物線L₁和L₂相交于點E、F，當k的值發(fā)生變化時，請判斷線段EF的長度是否發(fā)生變化，并說明理由；
（3）在（2）中，若拋物線L₁的頂點為M，拋物線L₂的頂點為N，問是否存在實數(shù)k，使MN=2EF？如存在，求出實數(shù)k；如不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①分別把y=0代入即可；
②根據(jù)二次項系數(shù)進行判斷；
③拋物線的對稱軸是：x=-$\frac{2a}$，代入計算即可；
④根據(jù)△=b²-4ac來判斷；
（2）由對稱性可知：兩條拋物線相交的另一個交點E與點F的縱坐標相等，由F（0，5k）得：E（-6，5k），則EF就等于0-（-6）=6，所以線段EF=6；
（3）存在實數(shù)k，使MN=2EF，
利用配方法分別求M、N的坐標，根據(jù)兩點的距離得：MN的長，利用MN=2EF解方程即可．

解答 解：（1）①∵拋物線L₁：y₁=x²+6x+5k經(jīng)過（0，5k），拋物線L₂：y₂=kx²+6kx+5k經(jīng)過（0，5k），
∴拋物線L₁和L₂與y軸交于同一點F（0，5k）；
所以①結論正確；
②拋物線L₁：a=1＞0，則拋物線開口向下，
拋物線L₂：k不確定為正數(shù)或負數(shù)，則拋物線的開口也不確定；
所以②結論不正確；
③拋物線L₁：對稱軸為直線：x=-$\frac{6}{2×1}$=-3，
拋物線L₂：對稱軸為直線：x=-$\frac{6k}{2k}$=-3，
∴拋物線L₁和L₂的對稱軸是同一條直線；
所以③結論正確；
（4）拋物線L₁：y₁=x²+6x+5k，
△=6²-4×1×5k=36-20k，
當k＜-1時，△＞0，所以拋物線L₁與x軸有兩個交點，
拋物線L₂：y₂=kx²+6kx+5k，
△=（6k）²-4×k×5k=16k²，
當k＜-1時，△＞0，所以拋物線L₂與x軸有兩個交點，
所以當k＜-1時，拋物線L₁和L₂都與x軸有兩個交點，
所以④結論正確；
故說法正確的序號是：①③④；
故答案為：①③④；
（2）由（1）可知：點F（0，5k）是拋物線L₁和L₂與y軸一個交點，兩條拋物線相交的另一個交點E與點F的縱坐標相等，
當k=1時，二次函數(shù)L₁和L₂重合，
當k≠1時，k的值變化時，線段EF的長不會變化，
理由是：∵拋物線L₁和L₂的對稱軸是同一條直線：直線x=-3，又F（0，5k）；
∴點F關于直線x=-3對稱的點E的坐標為E（-6，5k），則EF就等于0-（-6）=6，
所以線段EF=6；
（3）存在實數(shù)k，使MN=2EF，
y₁=x²+6x+5k=（x+3）²-9+5k，y₂=kx²+6kx+5k=k（x+3）²-4k，
∴拋物線L₁，頂點M（-3，-9+5k），
拋物線L₂，頂點N（-3，-4k），
由題意得：NM=|-4k-（5k-9）|=2×6，
解得：k₁=$\frac{7}{3}$，k₂=-$\frac{1}{3}$．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的性質、利用配方法求項點坐標、對稱軸、兩點的距離、一元二次方程、根的判別式，并利用數(shù)形結合的思想，根據(jù)圖象解決問題；熟練掌握二次函數(shù)的對稱性是本題的關鍵．